2.4. Линейное приближение и переходный процесс

Если фазовая ошибка равна нулю, то говорят, что произошел «захват» фазы в системе фазовой автоподстройки частоты. Если ошибка все время мала по сравнению с 1 рад, то можно воспользоваться приближением

которое дает ошибку менее 5% при менее 30°. В этом случае говорят, что система регулирования близка к захвату фазы, а синусоидальную нелинейность, показанную на рис. 2.3, можно не рассматривать, В этом случае работа

системы описывается линейным уравнением, которое получается при подстановке соотношения (2.22) в формулу (2.20):

Предполагая, что преобразования Лапласа существуют, получим

и

Уравнение (2.23) можно привести к виду

где F(s) - передаточная функция линейного фильтра.

Уравнению (2.24) соответствует блок-схема, изображенная на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Линейная модель системы фазовой автоподстройки частоты.

Таким образом, преобразования Лапласа функций получаются из преобразования Лапласа функции ) следующим образом:

и

Функция

называется передаточной функцией замкнутой петли регулирования. Используя ее, получим следующие соотношения между

Результат обратного преобразования:

называется импульсной переходной функцией замкнутой петли регулирования. Если является рациональной функцией, то — также рациональная функция. Условие устойчивости приводит к требованию, чтобы нули функции находились в левой полуплоскости. Выполнив обратное преобразование над (2.27), получим

Пусть, например, принимаемый сигнал имеет постоянную частоту рад/сек и начальную фазу и пусть в системе регулирования не будет фильтра. Тогда

и

Тогда из (2.19а) имеем . Этот сигнал прилагается в момент так что

и

Обратное преобразование дает

Если предел существует, его называют установившейся фазовой ошибкой. Из формулы (2.30) следует, что в рассматриваемом случае установившаяся фазовая ошибка равна , что означает, что управляемый генератор синхронизирован с принимаемым сигналом по частоте, но захват по фазе не может быть достигнут. Для того чтобы линейная модель была применима, необходимо, чтобы величины и были малы.

Сохраняя тот же сигнал на входе, введем в систему фильтр, характеризуемый передаточной функцией

Такой фильтр состоит из параллельного соединения прямого пути и идеального интегратора, имеющего усиление а, как показано на рис. 2.5. В данном случае передаточная функция замкнутой петли регулирования, получаемая из выражений (2.25). и (2.31), имеет вид

Преобразование Лапласа фазовой ошибки согласно (2.27) равно

Рис. 2.5. Схема фильтра петли регулирования второго порядка.

Теперь можно выполнить обратное преобразование; так как нужно найти только величину установившейся фазовой ошибки, то можно воспользоваться предельной теоремой для преобразования Лапласа [9]:

Таким образом, введя в петлю регулирования второй интегратор, можно свести к нулю установившуюся фазовую ошибку в случае принимаемого сигнала, имеющего вид синусоиды постоянной частоты.

Захваченная по фазе петля регулирования без фильтра называется петлей регулирования первого порядка, а петля с фильтром, содержащим идеальный интегратор, называется петлей регулирования второго порядка. Вообще, порядок системы регулирования равен числу конечных полюсов передаточной функции разомкнутой системы, т. е. в данном случае числу полюсов функции .

Если интегратор в фильтре, изображенном на рис. 2.5, не идеальный, то передаточная функция примет вид

Она совпадает с передаточной функцией системы, состоящей из фильтра низких частот и усилителя и изображенной на рис. 2.6, где . Эту схему

легче реализовать, чем аналоговый интегратор, изображенный на рис. 2.5, ее передаточная функция будет близка к передаточной функции аналогового интегратора, если сделать гораздо больше и скомпенсировать ослабление, применив усилитель с большим усилением.

Рис. 2.6. Схема фильтра неидеальной петли регулирования второго порядка.

Передаточная функция замкнутой системы равна

При такой передаточной функции преобразование Лапласа фазовой ошибки равно

и ее установившееся значение будет

что равно установившейся фазовой ошибке петли первого порядка, уменьшенной в раз. Это и является мерой степени приближения рассматриваемой петли к идеальной петле второго порядка.

Наконец, рассмотрим принимаемый сигнал, частота которого линейно изменяется во времени

где R есть скорость изменения частоты в радианах в секунду за секунду. Это соответствует, например, случаю приема сигнала, передаваемого с помощью генератора постоянной частоты с борта самолета, перемещающегося с постоянным радиальным ускорением по отношению к приемнику, где с — скорость распространения в метрах в секунду. Тогда

Если для слежения за таким сигналом применить петлю первого порядка , то преобразование Лапласа ошибки будет иметь вид

и фазовая ошибка неограниченно возрастает при , как это следует из применения предельной теоремы. Такой же результат получается и для неидеальной петли второго порядка, передаточная функция фильтра которой выражается формулой (2.32). Таким образом, необходимо применить по меньшей мере идеальную петлю второго порядка. В этом случае

так что установившаяся фазовая ошибка будет равна

Отсюда следует, что, чем больше величина усиления петли, тем меньше ошибка. Для того чтобы линейная модель, на которой было основано рассмотрение, была применима, фазовая ошибка должна быть мала по сравнению с 1 рад.

Установившуюся ошибку можно свести к нулю при помощи петли третьего порядка. Для этого необходимо ввести в фильтр петли второй интегратор, как показано на рис. 2.7. Передаточная функция фильтра будет

Тогда передаточная функция замкнутой петли примет вид

и преобразование Лапласа фазовой ошибки будет равно

откуда следует, что установившаяся фазовая ошибка равна нулю. Рассмотренные выше случаи сведены в табл. 2.1. Из нее видно, в частности, что для отслеживания постоянной частоты (или угловой скорости) с конечной ошибкой достаточно применить петлю первого порядка, а для отслеживания линейно изменяющейся частоты (или углового ускорения) с конечной ошибкой необходима петля второго порядка.

Рис. 2.7. Схема фильтра петли регулирования третьего порядка.

Увеличение на единицу порядка системы приводит к устранению установившейся ошибки, а понижение порядка на единицу приводит к неограниченному возрастанию ошибки. Эти замечания справедливы для всех линейных систем регулирования.

Полученные в данном параграфе количественные соотношения основаны на предположении о малости ошибки, которое дало возможность воспользоваться линейной моделью. Однако точные соотношения для произвольных фазовых ошибок и для нелинейной модели будут получены в гл. 3. Тогда выяснится, что приведенные выше выводы могут служить лишь качественным указанием и что линейная модель позволяет лишь правильно определить отсутствие или неограниченное возрастание ошибки.