ГЛАВА 2. АВТОМАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ФАЗОЙ

2.1. Измерение угла и фазы

Фаза синусоиды, как и угловое положение колеса является относительной величиной и ее можно измерить только по отношению к зафиксированной начальной оси. Продолжая сравнение с колесом, можно глубже понять задачу измерения фазы.

Рис. 2.1. Измерение угла и управление им.

На рис. 2.1 изображено колесо единичного радиуса, вращающееся против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью рад/сек. Вектор ОР, проведенный из центра колеса к точке Р на его ободе, повернут на угол по отношению к оси Так как колесо вращается с постоянной скоростью, угол является линейной функцией времени

где представляет начальный угол в момент начала вращения. Проекция вращающегося вектора на горизонтальную ось выражается функцией

Приборы для измерения этой проекции и получения электрического сигнала, пропорционального функции (2.1), имеют широкое распространение и часто применяются в системах управления.

Рассмотрим теперь второе колесо такого же радиуса, вращающееся против часовой стрелки, но с иной угловой

скоростью . Пусть диаметр PQ находился в начальный момент времени под углом по отношению к оси так что проекция вектора ОР на эту ось представляется функцией

Предположим теперь, что такое же устройство используется для измерения угла между вектором ОР на первом колесе и вектором ОР на втором колесе в зависимости от времени; оно даст электрический сигнал, пропорциональный величине

Хотя эта функция и дает меру относительных угловых положений обоих колес, эта мера не вполне удовлетворительна. Косинус является четной функцией аргумента, и поэтому из измерений нельзя определить, опережает ли второе колесо первое или же отстает от него, а это очень важно, если необходимо попытаться синхронизировать движение обоих колес. Эту трудность можно преодолеть, измеряя угол первого колеса относительно отрицательного направления оси у. Тогда, обозначив через угол между ОР и отрицательной полуосью у (рис. 2.1), получим

так что из (2.2) находим выражение

Отсюда следует, что угол (и фаза) является относительной величиной и начальное направление можно выбрать в соответствии с задачей.

В устройствах связи с синусоидальной несущей передатчик можно рассматривать как первое колесо, а гетеродин приемника — как второе. Момент времени, когда синусоида проходит через нуль, переходя от отрицательного значения к положительному, соответствует оси х (рис. 2.1).

В этом случае необходимо измерить относительные фазовые углы генераторов для того, чтобы синхронизировать второй (приемный) генератор с первым. Мы таким образом заменили механические перемещения электромагнитными сигналами; сигналы как функции времени аналогичны вращению колес по отношению к начальным положениям. Измерение относительного фазового угла в виде, аналогичном (2.2) и (2.3), можно осуществить следующим образом. Если оба сигнала с нормированными амплитудами

перемножить в электронном умножителе, то получим

где представляют частоты генераторов. Вообще говоря, разность частот будет очень мала по сравнению с их суммой, так как приемник должен работать в полосе возможных частот передатчика. Таким образом, если сигнал с выхода электронного умножителя пропустить через фильтр низких частот с граничной частотой около со рад (сек, то член выражения (2.4), представляющий сумму частот, будет существенно ослаблен и останется только косинус разностной частоты. В частности, если со гораздо больше, чем , то фильтр низких частот не обязательно должен иметь очень крутой срез.

Так как необходимо синхронизировать местный гетеродин с принимаемым сигналом, то и в этом случае удобнее получать результат измерения, пропорциональный синусу разности фаз. Этого можно добиться таким же способом, как и в случае двух колес. Если начальный момент времени переданного сигнала сдвинуть вперед на величину так что фазовый угол сдвинется вперед на рад, то сигнал примет вид

так что произведение этого сигнала и сигнала местного гетеродина станет равным

и фильтрация существенно ослабит слагаемое суммарной частоты. Если измерейие, состоящее из перемножения и фильтрования, дает нулевое значение, то оба сигнала синхронизированы по частоте, а их фазы смещены точно на рад. Если это условие сохраняется, то сигналы называются фазово-когерентными. Система связи, в которой приемное устройство непрерывно поддерживает фазовую когерентность между сигналом местного гетеродина и передаваемым сигналом, называется фазовокогерентной системой связи.

До сих пор рассматривались только чистые тона или синусоиды постоянной частоты. Но в большинстве систем связи применяются модулированные сигналы. Амплитудная модуляция состоит в перемножении синусоиды с модулирующим сигналом a(t), причем получается сигнал а . Фазовую или частотную модуляцию можно рассматривать как возмущение равномерного вращения колеса в использованной ранее аналогии.

Фазовая модуляция соответствует возмущению углового положения, так что проекция радиуса ОР на ось х принимает вид

где представляет возмущающую движение функцию времени.

Частотная модуляция есть возмущение скорости вращения, так что проекция принимает вид

где — начальный момент времени.

И в том и в другом случае, если обозначить аргумент функции , то сохраняются все приведенные выше

соотношения между сигналами, а также результаты измерений остаются такими же, как и для колес (2.4) и (2.5). Если полоса частот модулирующего сигнала мала по сравнению с , то для ослабления слагаемого суммарной частоты можно еще применить фильтр низких частот, причем слагаемое разностной частоты сохраняется без изменений.

Влияние на измерения случайных возмущений вместе с принимаемым сигналом будет рассмотрено в § 2.7.