Приложение D. ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА В СЛУЧАЕ, КОГДА НАБЛЮДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПАРАМЕТР СОВМЕСТНО НОРМАЛЬНЫЕ; УРАВНЕНИЕ ВИНЕРА — ХОПФА

В приложении С показано, что если условная (апостериорная) плотность вероятности параметра при данном векторе наблюдений у симметрична относительно своего среднего значения И унимодальна, то оптимальная оценка для широкого класса функций стоимости равна

Если параметр -мерный вектор совместно нормальны, то плотность вероятности является нормальной условной плотностью вероятности, и, следовательно, она также унимодальна и симметрична относительно своего среднего значения. Представляет интерес случай, когда «параметр» является выборкой стационарного нормального сигнала , который не зависит от аддитивного стационарного нормального шума и (5.38)].

Тогда вектор наблюдений состоит из выборок процесса моменты и

где слагаемые представляют выборки сигнала и шума в соответствующие моменты. В этом случае скалярный параметр

Обозначив замечаем, что это соответствует фильтрации с запаздыванием (см. § 5.4 и 5.5). Покажем теперь, что оптимальная оценка в данном случае

представляет решение уравнения Винера — Хопфа, которое, как было показано в гл. 5, соответствует также векторной оценке по критерию максимума апостериорной плотности вероятности, когда все параметры оцениваются совместно.

Для упрощения обозначим и допустим, что при всех значениях k и . Это соответствует предположению, сделанному в гл. 5 относительно последовательности Общий случай ненулевых средних рассматривается путем смещения переменных. Так как процессы и у совместно нормальные, то надо лишь задать вторые совместные моменты

Пусть R корреляционная матрица у ранга К, элементы которой даны выражением определим расширенную корреляционную матрицу, как симметричную матрицу ранга

которая является корреляционной матрицей (К+1)-мерного вектора Условная плотность вероятности

Знаменатель, который зависит только от матрицы R, равен

где определитель матрицы алгебраическое дополнение соответствующего элемента этой матрицы.

Числитель в (D.7), зависящий от матрицы , равен

Замечая, что алгебраическое дополнение находим из (D.7), (D.8) и (D.9)

Далее, так как плотность вероятности нормальная, ее можно написать в виде

где

Сравнивая (D. 10) с (D.11), получим

Таким образом, из (D.1) и (D.12) следует, что оценка представляет линейную функцию у. Формулу (D.12) можно переписать в виде

где

Покажем теперь, что вектор коэффициентов суммы (D.14)

представляет решение дискретного аналога уравнения Винера — Хопфа. Сначала определим векторы

Тогда из (D.15) и (D.17) получается векторное соотношение

Переписав матрицу (D.6) с учетом (D.16), получим

а обратная матрица в соответствии с (D.17) равна

Так как

то после перемножения элементов матриц (D.19) и (D.20) получится матричное соотношение, правая сторона которого представляет единичную матрицу ранга К, два векторных соотношения, правые части которых являются К-мерными нулевыми векторами, и скалярное соотношение, правая часть которого равна единице. В частности, умножив первую строку матрицы (D.19) на второй столбец матрицы

(D.20), получим векторное соотношение

Подставив (D.18) в (D.21), получим

или

В скалярной форме это можно записать к

что представляет дискретный аналог уравнения Винера — Хопфа.

Для того чтобы установить соответствие между уравнением (D.23) и уравнением Винера — Хопфа (5.23), рассмотрим выборки, определенные формулам (D.2) и (D.3). Тогда из (D.4) имеем

а из

где корреляционные функции процессов соответственно. Так как соответствует весовому коэффициенту при получающемуся в момент то

Подставив (D.24) - (D.26) в (D.14) и (D.23), получим к

Наконец, если всех значений k), причем остается постоянным, и если обозначить

то формально (D.27) и (D.28) принимают вид

и

Если подставить переходит в

Наконец, если время наблюдения , то получается обычное уравнение Винера — Хопфа (5.63), причем Решение не зависит от времени t, и фильтр для получения оценки инвариантен во времени.