ЧАСТЬ 2. СИСТЕМЫ СВЯЗИ С АНАЛОГОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

ГЛАВА 5. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И ОПТИМАЛЬНАЯ ДЕМОДУЛЯЦИЯ

В этой главе будет рассмотрена демодуляция сигналов, промодулированных по амплитуде или по углу при наличии стационарного нормального шума, с точки зрения теории оценки параметров. Сначала будут введены основные понятия теории оценок, причем в качестве первого примера будет произведена оценка амплитуды и фазы синусоидального сигнала при наличии белого нормального шума. Затем задача оценки одного параметра будет обобщена на случай многих параметров, и это обобщение позволит определить оптимальный демодулятор для амплитудной и фазовой модуляции случайным процессом. Этот результат получится в виде интегрального уравнения, решение которого дает искомую оценку параметров модулирующего процесса. В тех случаях, когда устройство, выполняющее оценку, линейно, интегральное уравнение можно привести к уравнению Винера — Хопфа. Однако при модуляции по углу приходится применять нелинейное устройство для оценки и можно получить лишь приближенное решение, реализуемое при помощи фазовой автоподстройки частоты. Качество демодуляторов можно оценивать среднеквадратичной ошибкой или дисперсией фазовой ошибки, для которой будет получена формула, пригодная для расчетов.

5.1. Оценка параметров, основанная на максимизации апостериорной вероятности

Предположим, что передается сигнал, представляющий известную функцию времени, за исключением одного параметра , являющегося непрерывной случайной величиной.

Если сигнал искажен аддитивным нормальным шумом и наблюдение происходит на интервале , то реализацию сигнала можно приставить в виде

где представляет сигнал, а по предположению является стационарным нормальным шумом с нулевым средним и положительно определенной корреляционной функцией Допустим далее, что функция дифференцируема по и что — непрерывные функции .

Рассмотрим образование оценки параметра основанное на выборках принимаемого сигнала относящихся к моментам времени, отстоящим друг от друга на причем . Введем обозначение:

тогда

или в векторном обозначении

где

Обозначим у вектор-столбец, получающийся транспонированием вектора у. Условную плотность вероятности при задании К. выборочных значений можно в соответствии с формулой Байеса представить в виде

где априорная плотность вероятности - апостериорная плотность вероятности (т. е. до и после наблюдения вектора ). Если значение параметра задано, то вектор у является случайным нормальным вектором, среднее значение которого равно а корреляционная матрица совпадает с корреляционной

матрицей вектора шума . Следовательно,

где представляет положительно определенную корреляционную матрицу шума, элементы которой равны

Матрица представляет обратную матрицу, а определитель матрицы Матрица несингулярна, так как предполагается, что положительно определенная.

Целесообразно выбрать в качестве оценки параметра , такое значение которое соответствует максимуму апостериорной плотности вероятности . Далее, так как логарифм является монотонной возрастающей функцией положительного аргумента, то можно выбрать оценку таким образом, чтобы максимизировать

Таким образом, для того чтобы максимизировать необходимо максимизировать лишь два последних слагаемых в выражении (5.7). Перепишем квадратичную форму в виде двойной суммы:

где — элемент матрицы . Тогда необходимым условием для оценки по критерию максимума апостериорной

вероятности является

или в матричном виде

Определим вектор как решение системы уравнений

или в векторной форме

Тогда условие (5.10) принимает вид

Если сделать интервал между выборочными значениями сколь угодно малым, а К — сколь угодно большим, то выборочные значения будут располагаться плотно на интервале ; и если существуют пределы сумм в (5.11) и (5.13),

то формально получим

Вывод формул (5.14) и (5.15) основан на представлении случайных процессов с помощью ряда Карунена-Лоева и дан в приложении В. Однако представляется, что изложенный выше метод, основанный на модели с конечным числом измерений, в большей мере соответствует физической интуиции. Уравнения (5.14) и (5.15) представляют необходимые условия, которым должны удовлетворять оценки по максимуму апостериорной вероятности, когда аддитивный шум представляет стационарный нормальный процесс с нулевым средним и с положительно определенной корреляционной функцией .

Особое значение представляет случай, когда энергетический спектр равномерный в рассматриваемом диапазоне частот, так что его можно аппроксимировать белым шумом, корреляционная функция которого имеет вид Тогда из (5.14) следует, что и для белого шума условие (5.15) принимает вид

Очевидно, что эти необходимые условия достаточны, если унимодальна (монотонная невозрастающая функция , где представляет моду).

Максимизация апостериорной вероятности является лишь одним из многих критериев для получения оценки

параметров. Другим часто употребляемым критерием является минимизация математического ожидания некоторой функции разности между действительным значением и оценкой , т. е.

где С называется функцией стоимости. Оценка, минимизирующая эту величину, называется байесовской оценкой. В частности, если является выпуклой четной функцией (например, что представляет критерий среднеквадратичной ошибки), то можно показать что байесовская оценка равна (см. приложение С)

Если плотность вероятности симметрична относительно среднего значения и унимодальна (т. е. монотонно невозрастающая функция то байесовская оценка (5.18) совпадает с оценкой по критерию максимума апостериорной плотности вероятности. В этом случае функция не должна быть обязательно выпуклой, а лишь монотонно неубывающей функцией (см. приложение С). Так как нормальная плотность вероятности унимодальна, то всегда, когда плотность вероятности нормальна, оценка по максимуму апостериорной плотности вероятности совпадает с широким классом байесовских оценок, который включает оценки по минимуму среднеквадратичной ошибки (или минимуму дисперсии).