8.3. Ортогональные сигналы

Прежде чем рассматривать общий случай когерентного приема, полезно и поучительно остановиться на частном слуяае ортогональных сигналов. Если при всех , получается существенное упрощение выражения для вероятности ошибки, так как в этом случае корреляционная матрица превращается в единичную (8.8) и переходит в следующее соотношение:

где

Заметим, что формула (8.9) представляет и общую вероятность ошибки, так как представляет просто переменную интегрирования и, следовательно, не зависит от переданного сигнала.

В § 8.1 были рассмотрены два примера ортогональных сигналов, соответствующих дискретной фазово-импульсной модуляции и дискретной частотной функции. Предположим, что время передачи сигнала равно Т, а мощность сигнала S. Тогда энергия сигнала

Каждый сигнал передает символов сообщения. Так как по предположению все символы независимы и с равной вероятностью могут быть нулями и единицами, то безошибочному приему сигнала соответствует прием k бит информации. Следовательно, скорость передачи информации,

которую обозначим R, равна

С помощью (8.10) и (8.11) можно выразить основной параметр через отношение сигнал/шум , скорость передачи R и число сигналов М:

При сравнении качества двух систем связи с различным числом передаваемых сигналов разумно предполагать одинаковые значения отношения и R и не одинаковые значения отношения . На рис. 8.3 показана зависимость вероятности ошибки от при . Кривые были построены на основании результатов численного интегрирования (8.9) с помощью вычислительной машины IBM 704 [2].

Вероятность ошибки представляет вероятность неправильного приема последовательности из k бит, т. е. вероятность того, что появится ошибка в одной или нескольких битах из последовательности k бит. Сравним эти соотношения с соотношениями для когерентной двоичной системы связи, рассмотренной в § 7.1. Предположим, что с помощью такой системы были переданы k последовательных бит. Было показано, что вероятность ошибки при приеме любого одного бита равна , где Е — энергия сигнала и — скалярное произведение сигнала . Так как передается только один бит, то . Для того чтобы минимизировать ошибку, необходимо применить противоположные сигналы, так что . Наконец, вероятность правильного приема k последовательных бит равна k-й степени вероятности правильного приема одного бита. Следовательно, вероятность ошибки в одном или нескольких последовательных битах из переданных k бит при применении двоичной когерентной системы связи и использовании противоположных сигналов равна

(см. скан)

Рис. 8.3. Вероятность ошибки для ортогональных сигналов (k = 1, 2.....10, 15, 20).

Этот случай назовем некодированной передачей. На рис. 8.4 и 8.5 показаны для сравнения вероятности ошибок при некодированной передаче и при кодированной передаче с ортогональными сигналами для k = 5 и 10, вычисленные согласно (8.13) и (8.9) соответственно. Из рисунков видно, что при фиксированных значениях необходимая мощность сигнала уменьшается почти в два раза при и почти в четыре раза при . Другими словами, при фиксированных значениях и применение кодирования дает возможность приблизительно удвоить скорость передачи данных при и учетверить ее при k = 10.

Вероятность ошибочного приема последовательности можно принять за меру качества, например, в случае передачи сообщений, состоящих из k бит и соответствующих символам телетайпа или квантованным выборочным данным. С другой стороны, если передается последовательность независимых бит то нужно определить вероятность ошибочной передачи определенного бита. Если при ортогональных сигналах произошла ошибка, то может быть выбрано с одинаковой вероятностью решение о неправильности любого из сигналов. Это следует из того, что скалярные произведения всех пар сигналов равны (в рассматриваемом случае равны нулю). Таким образом, если произошла ошибка, то вероятность того, что искажены i из k бит, равна Следовательно, среднее число искаженных бит равно

так что условная вероятность того, что искажен данный бит, если искажена последовательность из k бит, внутри которой он закодирован, равна . Тогда вероятность искажения этого бита, выраженная через вероятность искажения последовательности при ортогональном

(см. скан)

Рис. 8.4. Сравнение вероятностей ошибки при некодированной и кодированной передачах ().

(см. скан)

Рис. 8.5. Сравнение вероятностей ошибок при некодированной и кодированной передачах (k = 10).

(см. скан)

Рис. 8.6. Вероятность искажения (одного бита) при ортогональных сигналах (k = 1, 2,..., 10, 15, 20).

сигнале длиной k бит, равна

На рис. 8.6 представлена зависимость от отношения для тех же значений k, что и на рис. 8.3.