5.7. Решения уравнения Винера — Хопфа и определение минимальной среднеквадратичной ошибки

Хорошо известны решения уравнения Винера — Хопфа для тех случаев, когда энергетический спектр принимаемого сигнала

представляет рациональную функцию Можно показать, в частности [7], что передаточная функция оптимального реализуемого фильтра (т. е. преобразование Лапласа функции в формуле (5.83)) имеет вид

где представляют функции, имеющие те же полюса и нули, что и в верхней полуплоскости и в нижней полуплоскости соответственно. Подставив обратное преобразование от (5.89) в (5.87), получим величину минимальной среднеквадратичной ошибки. Можно также воспользоваться теоремой Парсеваля и преобразовать (5.87) к виду

и, подставив (5.89) непосредственно в (5.90), определить величину .

Применение (5.89) и (5.90) связано обычно с трудоемкими расчетами. Однако эти расчеты значительно упрощаются в двух частных случаях, которые часто представляют большой интерес. Это предельные случаи, когда запаздывание или задержка в (5.62) неограниченно возрастает или стремится к нулю. Прежде чем рассматривать эти случаи, преобразуем уравнение Винера — Хопфа для неограниченного интервала наблюдения (5.83), подставив :

Тогда, обозначая

и полагая, что , приведем (5.91) к виду

т. е. к уравнению Влнера — Хопфа для неограниченно большого запаздывания. Его решение можно найти непосредственно, произведя преобразование Лапласа от обеих частей. Тогда получим

Из (5.92) имеем

а из (5.94) и (5.95) получаем передаточную функцию для случая неограниченного запаздывания

Заметим, что передаточная функция физически нереализуема, потому что, как можно показать, ее обратное преобразование Лапласа не обращается тождественно в нуль при . Однако если воспользоваться условием неограниченно большой задержки и найти или

, то последняя будет реализуемой. Следует отметить, что этот вывод применим для любых стационарных процессов независимо от того, рациональны их энергетические спектры или нет.

Выражение минимальной среднеквадратичной ошибки при неограниченно большой задержке получается путем подстановки (5.96) в (5.90):

Вследствие независимости

и (5.97) принимает вид

Эта величина иногда называется неустранимой ошибкой, так как для получения оценки и используются значения принимаемого сигнала на всей временной оси, т. е. . Таким образом, формула (5.98) дает нижнюю границу достижимой для линейной оценки среднеквадратичной ошибки.

Соотношения (5.96) и (5.98) для случая неограниченной задержки пользуются широкой известностью и часто приводятся в работах, посвященных оптимальной фильтрации. Но, с другой стороны, существуют такие же простые выражения для случая нулевого запаздывания, которые в общем не привлекли внимания. Однако эти соотношения, выведенные Иовитсом и Джексоном [7], применимы только в случае, когда представляет белый шум. Если односторонняя спектральная плотность белого шума равна и энергетический спектр процесса и рациональный, то решение уравнения Винера — Хопфа при нулевой задержке имеет вид

где представляет функцию, имеющую те же нули и полюса в верхней полуплоскости, что и заключенная

в квадратные скобки рациональная функция. При этом получается минимальная среднеквадратичная ошибка, равная

Хелстром [8] очень просто получил формулы (5.99) и (5.100) при модулирующем процессе с рациональным энергетическим спектром. Приведем этот вывод. Заметим, прежде всего, что для белого шума

и, следовательно, уравнение Винера—Хопфа (5.87) принимает вид

Полагая и использовав (5.87), получим следующее выражение минимальной среднеквадратичной ошибки при запаздывании 8:

Следовательно, минимальная среднеквадратичная ошибка при нулевом запаздывании равна

В случае, когда шум белый и задержка равна нулю, можно представить оптимальную реализуемую передаточную Функцию (5.89) в виде

где

и все нули и полюса расположены в верхней полуплоскости, с ней комплексно сопряженная, содержит все нули и полюса расположенные в нижней полуплоскости.

Из формулы (5.105) видно, что если спектр представляет рациональную функцию, степень знаменателя которой выше степени числителя, то числитель и знаменатель имеют ту же степень и его можно представить в виде

где комплексные числа, действительные части которых положительны. Из (5.105) имеем

Подставив (5.107) в (5.104), получим

При интегрировании по следует учитывать только положительные значения , так как последующее интегрирование производится только по положительным значениям т. Вследствие того что имеет полюса только в нижней полуплоскости, при второй интеграл по равен нулю. Далее, первый интеграл по обращается в нуль при так как все полюса расположены в верхней полуплоскости. Таким образом (5.108)

можно представить в виде

Из формулы (5.105) следует, что

где соответствует нулям и полюсам , расположенным в верхней полуплоскости. Это доказывает справедливость соотношения (5.99). Следует заметить также, что все полюса функции

расположены в верхней полуплоскости и, следовательно, функция физически реализуема; этот факт будет использован в следующей главе при синтезе фильтров для оптимальных демодуляторов в виде системы фазовой автоподстройки частоты.

Подставив выражение оптимальной передаточной функции фильтра (5.109) в (5.103), получим

Из (5.106) имеем

где представляют положительные действительные числа и при убывает как

Подставив (5.112) в (5.111) и вычислив интеграл при помощи теоремы вычетов (при контуре интегрирования, состоящем из действительной оси и окружности неограниченно

возрастающего радиуса в верхней полуплоскости), получим

так как

потому что все полюса функции расположены в верхней полуплоскости и эта функция порядка при . Для того чтобы доказать, что (5.113) совпадает с искомым соотношением (5.100), представим последнюю формулу, используя (5.105) и (5.106), в виде

Этим доказывается справедливость выражения (5.100) при рациональных спектрах. Другой вывод этих формул, применимый и для нерациональных спектров, был предложен автором [9].