9.5. Качество кодированной системы с задержкой

При третьем методе передачи, указанном в § 9.1, до передачи сигнала берутся выборок из модулирующего процесса . Вследствие этого необходимо иметь сигналов, соответствующих битам, длительностью каждый. Таким образом, демодулированный сигнал задерживается на интервалов дискретизации. При этом можно применить тот же приемник, какой использовался при методе, рассмотренном в предыдущем параграфе, за исключением того, что теперь необходимо иметь корреляторов. При любых заданных значениях можно рассуждать так же, как в § 9.4. Однако особое значение имеет определение верхней границы качества, которая достигается в пределе при неограниченном возрастании п.

В § 8.4 и 8.10 было показано, что в пределе при неограниченном возрастании числа сигналов вероятность ошибок стремится к нулю при всех скоростях передачи, не превосходящих бит в секунду. Тогда из (9.12) имеем

Но из (9.16) и (9.17) имеем

откуда с учетом (9.29) следует:

Таким образом, если положить

где выбрано так, что L представляет целую степень двух, то получим максимальное значение отношения сигнал/шум на выходе при неограниченной задержке -

Соотношение (9.32) при показано на рис. 9.6 вместе с нижними границами, построенным по формулам (9.20), (9.21) и (9.26). Следует заметить, конечно, что так как расширение полосы частот в данном случае равно

то занимаемая полоса частот и объем аппаратуры неограниченно возрастают при неограниченном возрастании п.

С другой стороны, Шеннон показал [71, что при неограниченном увеличении длины кода возможна передача сигналов с полосой частот W со скоростью

по каналу с белым нормальным шумом с вероятностью ошибок, стремящейся к нулю. Хотя неизвестен детерминированный подход к построению таких кодов, теорема Шеннона утверждает, что они существуют. Используя (9.17), можно условие (9.34) переписать в виде

Этому условию можно удовлетворить, если выбрать

где таково, что L можно сделать степенью двух. Наконец, в силу (9.29) имеем

(см. скан)

Рис. 9.6. Отношение сигнал/шум на выходе при импульсно-кодовой модуляции с неограниченным запаздыванием и сравнение с другими видами модуляции.

Очевидно, что при неограниченном возрастании отношения выражение (9.37) стремится к (9.32); этого следовало ожидать, так как в гл. 8 было показано, что в канале с нормальным шумом без ограничений полосы частот ортогональные коды являются асимптотически оптимальными.

Рис. 9.7. Отношение сигнал/шум на выходе как функция полосы частот для кодированной импульсно-кодовой модуляции с неограниченным запаздыванием.

График (9.37) в зависимости от при показан на рис. 9.7 для нескольких значений . Следует заметить, что при , в частности, . Заметим, что отношение сигнал/шум на выходе в этом случае не превышает отношения сигнал/шум на выходе, получаемое при обычной амплитудной модуляции с одной боковой полосой частот. Другими словами, если полоса частот передатчика не может превышать полосу частот источника, то невозможно повысить отношение сигнал/шум на выходе по сравнению с отношением

сигнал/шум на выходе, получаемом при обычной амплитудной модуляции, применяя любые методы кодирования, сложные виды модуляции или задержки. Для повышения отношения сигнал/шум необходимо расширять полосу частот, как показывают формула (9.37), рис. 9.7 и выводы, полученные в гл. 6.

Следует сделать еще одно замечание в связи с этим заключением. Хотя дисперсия шума остается такой же, как получающаяся при обычной амплитудной модуляции, распределение не остается таким же. В канале с нормальным шумом при когерентной демодуляции амплитудно-модулированного сигнала шум на выходе нормален, а шум в кодированной цифровой системе связи с произвольно большой длиной кода и задержкой представляет чистый шум из-за квантования, так как шум, вызываемый ошибками передачи, можно сделать сколь угодно слабым. Таким образом, распределение шума в данном случае ограничено по амплитуде и равно нулю вне пределов . Таким образом, в системах, в которых должно равняться единице, при применении кодирования нормально распределенный шум на выходе заменяется шумом на выходе, ограниченным по амплитуде.