2.6. Фазовая и частотная модуляция

В § 2.4 был рассмотрен сигнал на выходе линейной модели при воздействии на ее вход сигнала, частота которого была либо постоянной, либо линейной функцией времени. Там было также указано, что при любой фазе сигнала фаза управляемого генератора и фазовая ошибка могут быть определены из соотношений (2.29). Если несущая сигнала модулирована по фазе сигналом с индексом модуляции то принимаемый сигнал имеет вид

так что

Если несущая промодулирована по частоте с индексом модуляции , то принимаемый сигнал имеет вид

так что

Если сигнал задан в явном виде, то и в том и в другом случае можно определить сигнал на выходе из формулы (2.29).

Однако часто модулирующий сигнал является случайным процессом и известны лишь его среднее значение и корреляционная функция. В этом случае можно надеяться лишь на определение соответствующих статистических характеристик фазы на выходе и фазовойюшибки. Не теряя общности, можно считать, что среднее по множеству модулирующего процесса равно нулю, так как при фазовой модуляции можно учесть ненулевое среднее значение, включив его в слагаемое , а при частотной модуляции его можно учесть в слагаемом

Таким образом, среднее значение равно

а среднее значение равно

причем и то и другое среднее изменяются со временем. Среднее значение можно определить в явном виде методом, изложенным в § 2.4. Корреляционные функции фазы и фазовой ошибки равны

Если модулирующий по углу процесс за вычетом его среднего значения стационарен в широком смысле и если найти установившееся значение, положив , то корреляционные функции фаз сигналов на входе и на выходе

и фазовой ошибки будут независимы от времени, а соответствующие энергетические спектры вполне определенными. Они связаны друг с другом с помощью передаточной функции замкнутой петли :

где

- корреляционная функция для установившегося состояния.

Подобным же образом, так как передаточная функция между фазой сигнала на входе и фазовой ошибкой равна среднее значение фазовой ошибки равно t

Если в установившемся состоянии процесс. стационарен в широком смысле и его корреляционная функция равна , то его энергетический спектр связан с энергетическим спектром процесса соотношением

Дисперсии этих процессов в установившемся состоянии выражаются следующим образом:

Если модуляция по фазе производится стационарным случайным процессом с нулевым средним, энергетический

спектр которого равен , то

С другой стороны, если модуляция производится по частоте, то модулирующий процесс может быть стационарным, но егоинтеграл не будет стационарным, так что выражения (2.39), (2.41) и (2.42) оказываются неприменимыми. Тем не менее даже и в таком случае предел может быть стационарным. В частности, если то так как представляет рациональную функцию, ее можно представить в виде рациональная функция и Выполнив обратные преобразования, получим

Дифференцирование устраняет интегрирование в выражении (2.35); следовательно, если процесс стационарен, то стационарен предел , а их энергетические спектры связаны соотношением

Тогда остается справедливым выражение дисперсии фазовой ошибки (2.43). Дисперсия установившегося значения фазовой ошибки имеет особое значение, так как она представляет среднеквадратичное значение случайной фазовой ошибки, которая должна быть малой почти при всех значениях t, чтобы выполнялось приближенное соотношение (2.22) допускающее применение линейной модели.

Заметим, между прочим, что если среднее значение и дисперсия фазовой ошибки малы почти для всех значений t, то захваченная по фазе петля работает как дискриминатор, так как фаза управляемого генератора представляет воспроизведение фазы принимаемого сигнала . Это, в свою очередь, означает, что сигнал на выходе управляемого генератора, пропорциональный величине воспроизводит производную . Таким образом, если принимаемый сигнал промодулирован по частоте

процессом , так что производная пропорциональна процессу , то сигнал можно использовать как выходной сигнал дискриминатора (см. рис. 2.2). Если применяется фазовая модуляция, так что фаза пропорциональна процессу , то для воспроизведения процесса нужно проинтегрировать величину . Использование системы фазовой автоподстройки частоты в качестве дискриминатора будет подробно рассмотрено в гл. 5 и 6.