3.2. Система второго порядка при сигнале постоянной частоты на входе

Если положить то после дифференцирования всех членов уравнения (3.1) получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:

Пронормировав время, можно исключить одну из постоянных. Если положить , так , то уравнение (3.7) принимает вид

Для упрощения введем обозначения и

и представим уравнение (3.8) в виде

Если разделить это уравнение на и учесть, что то первое слагаемое в нем становится равным

Исключив , можно рассматривать как независимые переменные, и тогда из (3.10) получается

Уравнение (3.11) можно представить графически, приняв за абсциссу и за ординату (как было сделано при рассмотрении системы первого порядка) и вычисляя из (3.11) наклоны траекторий в любой точке на плоскости Некоторые особенности этого представления очевидны на основании уравнения:

1) При больших значениях (которая пропорциональна ошибке по частоте) второе слагаемое в правой части становится малым и траектории близки к синусоидам.

2) При наклон всегда равен —1; следовательно, ось является изоклиной —1 (линией постоянного наклона). Графическое представление определяется путем отыскания изоклин для других значений наклона; эти изоклины в общем случае не являются прямыми линиями.

3) Уравнение периодическое по с периодом таким образом, наклон траекторий в точках одинаковый. Следовательно, для описания поведения системы необходимо начертить траектории только для значений .

4) В точках ( — целое число или нуль) наклон становится неопределенным, так как второе слагаемое в правой части принимает вид 0/0. Эти точки называются особыми точками и представляют либо устойчивые точки системы, либо центры неустойчивости, как будет показано более полно ниже.

Только что описанный графический метод нахождения решений нелинейного дифференциального уравнения (3.11) называется методом фазовой плоскости. Однако вычисление изоклин и вычерчивание различных траекторий является длительной и трудоемкой процедурой. С другой стороны, решение уравнений (3.11) можно запрограммировать на аналоговом вычислительном устройстве. Проще всего это сделать путем реализации блок-схемы,

изображенной на рис. 3.1, применив спецвычислитель для осуществления нелинейности в виде синусовды. Так как вычитание можно выполнить до интегратора обратной связи, а не после него. Другими словами, можно вычесть из постоянной величины что дает интегрируя которую, получим

Рис. 3.3. Траектории на фазовой плоскости для петли второго порядка

Рис. 3.4. Траектории на фазовой плоскости для петли второго порядка ().

Она подается на вход спецвычислителя, на выходе которого получается и после умножения на АК и фильтрации получается Оба сигнала, подаются на входы, управляющие отклонениями по осям и у устройства, вычерчивающего график в плоскости Желаемая траектория начинается путем установки начальных напряжений на осях соответствии с требуемыми начальными значениями . В результате получаются приведенные на рис. 3.3-3.6 графики для различных значений . Ось простирается от до . На основании этих графиков можно сделать следующие выводы:

1. При больших значениях (положительных и отрицательных) траектории практически представляют синусоиды.

Точка пробегает траектории слева направо в верхней полуплоскости и в обратном направлении в нижней.

При больших положительных значениях можно заметить небольшой спад при пробегании траектории по полосе от . Величина спада возрастает при уменьшении Заметим, что конечное значение для данной траектории использовалось, как начальное значение для следующей, расположенной ниже траектории.

Рис. 3.5. Траектории на фазовой плоскости для петли второго порядка .

Рис. 3.6. Траектории на фазовой плоскости для петли второго порядка .

Так как вид траектории повторяется в каждой полосе шириной то затухание будет постоянно возрастать в каждой последующей полосе до тех пор, пока при (где — любое нечетное целое число) значение не окажется ниже линии . В этой точке система перестанет пробегать циклические изменения, фазовая и частотная ошибки будут уменьшаться, стремясь к значениям , и будет осуществлен захват фазы. То же самое получается, когда начальная ошибка по частоте отрицательна, но движение по траекториям совершается

справа налево. Если ошибки лежат между линиями А А, то можно сказать, что система захвачена по частоте, так как при этом условии система перестает претерпевать циклические изменения.

2. Особые точки при являются точками устойчивости или центрами неустойчивости, как было упомянуто выше.

Рис. 3.7. Зависимость области захвата по частоте от величины а.

При четных значениях они являются устойчивыми точками, в которых система осуществляет захват фазы, и называются узлами или фокусами соответственно в зависимости от того, затухание системы больше (рис. 3.3) или меньше (рис. 3.5 и 3.6) критического. На рис. 3.4 представлен случай, когда затухание системы равно критическому. При нечетных значениях имеется центр неустойчивости, называемый седловой точкой. Вблизи этой точки при любом направлении пробегания траектории величина частотной ошибки будет уменьшаться до тех пор, пока траектория не приблизится к седловой точке, а затем быстро возрастет опять. Другие свойства особых точек можно найти в литературе [1, 2] о методе фазовой плоскости, но они не являются необходимыми для нашего рассмотрения.

3. Сравнивая значения при которых линия АА пересекает линию и которые обозначим на различных рисунках, можно заметить, что при увеличении а область захвата по частоте расширяется. На рис. 3.7 пока

зана зависимость от . Заметим, что при приближении к нулю приближается к единице. Это следует из выводов, полученных в предыдущем параграфе, так как соответствует системе первого порядка и в этом случае система всегда захвачена по частоте, если можно видеть на рис. 3.2). Следовательно, так как Для системы первого порядка.

Качественным интуитивным выводам, полученным из рассмотрения графиков на фазовой плоскости, можно придать более количественный оттенок. Прежде всего, можно показать, что для системы второго порядка, содержащей идеальный интегратор, диапазон захвата теоретически неограничен. Затем можно вывести приближенные выражения уменьшения частотной ошибки за один цикл и времени захвата.

Если обе части выражения (3.11) умножить на и проинтегрировать в пределах до , то получим

Второе слагаемое в правой части равно нулю, а первое можно проинтегрировать по частям, что даст

Если выражение для из уравнения (3.11) подставить в выражение (3.13), то получим

Первое слагаемое в правой части равно нулю. Тогда (3.14) можно представить в виде

Таким образом, при положительных значениях подынтегральное выражение положительно при всех значениях в пределах , а правая часть выражения (3.15) отрицательна. Аналогичным образом, при отрицательных значениях правая часть этого уравнения всегда положительна. Следовательно, при любом начальном значении за время каждого цикла шириной значение должно убывать. Это означает, что диапазон захвата для идеальной системы второго порядка неограничен.

Для того чтобы приближенно определить величину убывания Ф за один цикл можно предположить, что для значений расположенных выше линии АА, величина убывания за один цикл постоянна. Таким образом, заменим приближенным выражением

где представляют изменение частоты за цикл. Это приближение, конечно, является лучшим для больших значений . Подстановка его в выражение (3.11) дает

Если , то

После вычисления интеграла получаем

Так как , то

Это приближение довольно хорошо согласуется с результатами, полученными на аналоговом вычислительном устройстве, до значений .

Подобным способом можно получить выражение для времени, необходимого для достижения захвата по частоте (определяемого как достижение точки, в которой траектория опускается ниже линии АА), которое назовем временем захвата. Так как

так что

и

то длительность цикла равна

Подставив выражение из (3.16), предположив, что , и сохранив при разложении только член первого порядка, получим

Если , то в некотором цикле , следовательно, при очень больших величина очень мала, так что отношение представляет хорошее приближение к производной времени затухания по отношению к ошибке по частоте. Разделив выражение (3.19) на (3.17) и отбросив все члены порядка получим

Интегрируя в пределах от (начальная ошибка) до (ошибка на линии АА), получим

Это представляет приближенное выражение для промежутка времени, необходимого для достижения захвата по частоте, когда начальная ошибка по частоте равна . Конечно, полученное через оценку производной приближение становится все более грубым по мере приближения . Однако если в начале величина была большой, то второе слагаемое в выражении (3,20), а также и все отброшенные слагаемые вышеприведенного выражения малы по сравнению с первым и асимптотически время захвата равно

Однако

Так как

то

С другой стороны, если (т. е. если управляемый генератор имеет частоту, равную его собственной частоте), то из рис. 3.1 видно, что при

Следовательно,

и

где имеет размерность радианы в секунды, а радианы.

Таким образом, хотя диапазон захвата может быть неограниченным, время, необходимое для осуществления

захвата по частоте, может оказаться недопустимо большим, если начальная ошибка по частоте велика по сравнению с усилением петли или шириной полосы шума. Позднее будет показано, что при неидеальном интеграторе диапазон захвата уже не будет неограниченным, но пропорциональным постоянной времени фильтра.

Так как при высоком уровне шума ширина полосы петли, пропорциональная (см. табл. 2.2), должна по необходимости быть малой, то при больших значениях начальной неопределенности частоты по сравнению с этой полосой сама система фазовой автоподстройки частоты является крайне плохим устройством для определения частоты. В следующем параграфе будут рассмотрены методы ускорения захвата частоты.

При рассмотрении систем с петлей второго порядка часто применяется другая совокупность параметров, состоящая из собственной частоты и множителя затухания ?. Эти параметры определяются расположением полюсов замкнутой петли для линейной системы. Для линейной модели, рассмотренной в § 2.4, определяется как длина вектора от начала координат до любого из полюсов замкнутой петли (см. рис. 2.8), а определяется как косинус угла между этим вектором и действительной осью. Таким образом, полином, корнями которого являются полюса замкнутой петли, имеет вид

Сравнивая это выражение со знаменателем передаточной функции замкнутой системы линейной модели (см. табл. 2.1), получим следующие соотношения:

Часто компромисс между устойчивостью и скоростью реакции системы второго порядка достигается, если положить что соответствует . Если , то система имеет критическое затухание (рис. 3.4); если , то ее затухание больше критического (рис. 3.3) и если , то оно ниже критического (рис. 3.5 и 3.6).