8.5. Соображения о полосе частот

Для полной оценки системы связи и соответствующей схемы кодирования необходимо определить не только вероятность ошибки как функцию отношения и скорости передачи данных, но также и полосу частот, занимаемую

каналом передачи. Полоса частот, занимаемая каналом, определяется минимальным расстоянием по частоте между каналами, при котором сигналы одного канала не оказывают никакого влияния на декодирующие устройства других каналов.

Рассмотрим в качестве первого примера совокупность сигналов вида (8.2). Допустим, что одновременно происходит передача по другому каналу при помощи сигналов

где — любое целое число, такое, что кратно М. Тогда из условия

для всех следует, что сигналы второго канала не будут оказывать никакого влияния на корреляторы приемного устройства первого канала, и наоборот. Конечно, обе системы должны быть синхронизированы. Таким образом, в соответствии с только что приведенным определением полоса частот, занимаемая каждым каналом, равна

Обратимся теперь к системе, изображенной на рис. 8.2, в которой передаваемые сигналы составлены из элементарных сигналов , и предположим, что по другому каналу производится передача элементарными сигналами и . Для того чтобы эти каналы не создавали помех друг другу, для используемых сигналов должно быть выполнено условие (8.20). Будучи выражено через элементарные сигналы, это условие принимает вид

Оно выполняется, если в качестве элементарных сигналов первого канала принять

где — произвольное положительное целое число, а в качестве элементарных сигналов второго канала принять

где — произвольное положительное целое число, не равное а. Отсюда ясно, что минимальное частотное разделение двух каналов достигается при

Заметим также, что так как скорость передачи данных , то

Такой выбор элементарных сигналов обладает тем преимуществом, что передаваемые сигналы легко могут быть реализованы амплитудной или фазовой модуляцией синусоидальной несущей. В § 8.6 будет показано, что ортогональные и другие виды сигналов можно генерировать, используя противоположные сигналы, т. е.

Полезная особенность такого выбора состоит в том, что сохраняется постоянной передаваемая мощность и, следовательно, обеспечивается одинаковая энергия для всех сигналов. В § 8.6 будет также показано, что для получения совокупности ортогональных сигналов из элементарных сигналов необходимо, чтобы число субинтервалов равнялось числу сигналов М. Таким образом, эта система занимает такую же полосу частот (8.23), как полоса частот совокупности сигналов (8.2), определяемая формулой (8.21).

Следует заметить, что сигналы, получаемые комбинацией элементарных сигналов, обладают степенями свободы. Теорема выборок для ограниченных по полосе процессов утверждает, что выборочная функция процесса с полосой частот W, большая часть энергии которого сконцентрирована в интервале длительностью Т секунд, обладает степенями свободы. Это показывает, что полоса, определяемая выражением (8.23), является минимальной

полосой частот, занимаемой рассматриваемыми сигналами. На самом деле, если вместо элементарных сигналов (8.25) выбрать сигналы

то передаваемый сигнал был бы ограничен по полосе частот и большая часть энергии каждого из элементарных сигналов занимала бы интервал длительностью . Однако если произвести усечение этих сигналов для получения конечного времени передачи, то ограничение по полосе частот было бы утрачено; во всяком случае, эти сигналы было бы гораздо труднее генерировать, чем синусоидальные импульсы (8.25). Необходимость ограничения полосы или приближенного ограничения полосы спектра устраняется при введенном выше определении занимаемой полосы частот, благодаря которому становится возможным использование строго ограниченных по времени функций вида (8.25).

Для сигналов, составленных из элементарных сигналов (8.25), выражение нормированного скалярного произведения (8.3) упрощается:

Но в субинтервале сигналы либо тождественны, и в этом случае интеграл по субинтервалу равен либо они имеют противоположные знаки, и тогда этот интеграл равен . Таким образом, каждому случаю согласования символов, используемых для выбора элементарных сигналов, соответствует слагаемое в сумме, равное , а каждому случаю рассогласования — слагаемое, равное . Следовательно, для сигналов, закодированных двоичным кодом,