4.6. Установившаяся (стационарная) плотность вероятности фазовой ошибки для системы второго порядка

В последнем параграфе было показано, что плотность вероятности фазовой ошибки в системе второго порядка можно определить, проинтегрировав совместную плотность вероятности представляющую решение уравнения Фоккера — Планка (4.74). Однако решение дифференциального уравнения в частных производных (4.74) можно получить только при помощи крайне сложных численных методов. Если удовлетвориться определением плотности вероятности для стационарного случая или для установившегося состояния, то можно поступить таким же образом, как и в случае системы первого порядка (см. § 4.4), и найти предел

когда

Таким образом, уравнение (4.74) приводится к уравнению для стационарной плотности вероятности

Подставляя

и учитывая (4.75), можно преобразовать и получить уравнение

Даже и это дифференциальное уравнение в частных производных нельзя решить непосредственно. Однако, поскольку нужно найти лишь частную плотность вероятности , можно проинтегрировать обе части уравнения (4.80) по z в бесконечных пределах и получить обыкновенное дифференциальное уравнение для :

Но

так что уравнение (4.81) принимает вид

К сожалению, невозможно точно определить , которая является функцией не зная , а это,

в свою очередь, требует решения уравнения (4.80). Однако можно определить ее общий вид следующим образом: из (4.75) и (4.79) имеем так что

Использовав (4.75) и проинтегрировав уравнение (4.73), получим

Так как при всех значениях t, среднее второго слагаемого в правой части равно нулю. Кроме того,

так как ясно, что установившееся среднее значение процесса равно нулю. Следовательно,

Это выражение представляет интеграл математического ожидания по всей будущей истории процесса при фиксированном значении в данный момент. Используя (4.82), (4.83) и (4.84) и полагая , получим

До сих пор рассматривалась только случайная фаза Можно опять привести к основному периоду, что эквивалентно определению функции (как в § 4.3)

Так как коэффициенты уравнения (4.85) — периодические функции , то если представляет решение, то также представляет решение при всех целых значениях следовательно, также является решением,

так что можно заменив в уравнении (4.85) на Величина математического ожидания всегда меньше единицы и становится пренебрежимо малой для значений , превышающих в несколько раз обратное значение ширины спектра Эта полоса пропорциональна а (см. табл. 2.2) для системы второго порядка. Следовательно, порядок величины интеграла обратно пропорционален АК а, и если то второе слагаемое в коэффициенте при гораздо меньше первого. Если пренебречь вторым слагаемым, то уравнение (4.85) приводится к уравнению Фоккера — Планка для установившегося состояния системы первого порядка (4.30) при решением которого является (4.35). Таким образом, если усиление второго интегратора а АК, то

С другой стороны, при любом значении а, если отношение сигнал/шум достаточно велико, будет всегда мало, так что и как так и будут почти нормальными процессами. В этом случае математическое ожидание можно приближенно представить в виде

где является коэффициентом корреляции стационарного процесса

Значение этого интеграла можно найти при помощи теоремы Парсеваля:

где представляет корреляционную функцию, - дисперсию , a - ее энергетический спектр. Так как был приближенно представлен как можно воспользоваться линейной моделью (см. рис. 2.10 и § 2.8), в которую включен фильтр с передаточной функцией

Тогда из табл. 2.1 имеем

так что

и

Рис. 4.13. Сравнение полученной экспериментально плотности вероятности для системы второго порядка с формулой дб).

Подставив это выражение интеграла в (4.88), используя (4.85) и заменяя на получаем

решение которого при граничных условиях (4.32) и (4.33) имеет вид

где эффективное значение отношения сигнал/шум определяется выражением

так как для системы второго порядка (см. табл. 2.2). Таким образом, а равно обратной величине дисперсии фазовой ошибки в линейной модели, как это было и в случае системы первого порядка.

Рис. 4.14. Сравнение полученной экспериментально плотности вероятности для системы второго порядка с формулой (4.89)

Это заключение подтверждается экспериментально. На рис. 4.13-4.16 представлены плотности вероятности системы второго порядка, определенные экспериментально для различных значений , а также кривые теоретического распределения (4.89).

Рис. 4.15. Сравнение полученной экспериментально плотности вероятности для системы второго порядка с формулой (4.89) (а' = 2,41 дб).

Рис. 4.16. Сравнение полученной экспериментально плотности вероятности для системы второго порядка с формулой (4.89)