4.8. Ограничения точного метода и предлагаемые приближения
В предшествующих параграфах был выполнен точный анализ нелинейной модели при наличии аддитивного белого нормального шума и были получены выражения для стационарной (в установившемся состоянии) плотности вероятности времени до первого прохождения и частоты перескоков в системе первого порядка при отсутствии модуляции сигнала. Основным ограничением при рассмотрении точной модели системы более высокого порядка при воздействии на ее вход сигнала с модуляцией случайным процессом являются затруднения, с которыми встречаются при решении дифференциального уравнения в частных производных с несколькими переменными.
Тем не менее в § 4.6 и 4.7 были получены приближенные выражения установившейся плотности вероятности фазовой ошибки в системе второго порядка при немодулированном сигнале и в системе первого порядка при сигнале, промодулированном по частоте одномерным марковским процессом, И в том, и в другом случае дифференциальное уравнение в частных производных, содержащее две переменные величины, приводилось к обыкновенному дифференциальному уравнению для фазовой ошибки 
с коэффициентами, в которые входило условное математическое ожидание. Для этого коэффициента было получено приближенное выражение при помощи линейной модели, после чего появлялась возможность решить полученное уравнение. Этот приближенный метод соответствует оценке установившейся дисперсии фазовой ошибки 
на основе линейной модели и подстановке обратного ее значения вместо величины а в выражение (4.30). В этом уравнении величина 
зависит от первого момента фазовой ошибки 
в установившемся состоянии и при обращении этого момента в нуль также обращается в нуль. При правильном выборе параметров системы, т. е. при достаточном числе полюсов разомкнутой петли в начале координат, можно добиться обращения в нуль среднего значения в установившемся состоянии при любом заданном процессе на входе. В этом случае приближенным выражением одномерной плотности вероятности является формула (4.35), изображенная на рис. 4.6. Соответствующая дисперсия фазовой ошибки определяется формулой (4.39) и изображена на рис. 4.8. И в том, и в другом
случае величина а принята равной обратному значению дисперсии фазовой ошибки, найденной из рассмотрения линейной модели.
Следуя тем же путем, можно также получить приближенное выражение для частоты перескоков в системе более высокого порядка при наличии или в отсутствие модуляции входного сигнала нормальным процессом. Тогда, по крайней мере, для больших отношений сигнал/шум можно получить выражения для параметров, определяющих динамическое поведение системы с достаточной точностью на основании рассмотрения линейной модели. В результате получается соотношение (4.55), причем а заменяется величиной, обратной дисперсии фазовой ошибки, что справедливо для линейной модели.
Эти приближенные методы позволяют прежде всего учесть, по крайней мере частично, влияние периодической нелинейности и, кроме того, уменьшить фазовую ошибку, что не могло быть получено из рассмотрения линейной модели. В гл. 6 эти приближения будут широко использованы при оценке качества системы с угловой модуляцией, в которой фазовая автоподстройка частоты используется для демодуляции.
