9.2. Отношение сигнал/шум на выходе в дискретной системе связи

Хотя для дискретных систем связи чаще всего в качестве критерия качества рассматривается вероятность ошибки, для систем связи, в которых на входе имеется аналоговый источник сообщений, более полезным критерием качества является отношение сигнал/шум на выходе, на основе которого можно также сравнить дискретную систему связи с аналоговыми системами, в которых используется обычная модуляция по амплитуде или по углу. Применяя метод, изложенный в гл. 6, определим отношение сигнал/шум на выходе А, для t-й выборки следующим образом:

Так как по предположению и источник, и канал стационарны, то это отношение представляет отношение сигнал/шум на выходе для любой выборки. Теперь найдем выражение для А, в функции L и для вероятности ошибки в данном бите. Это выражение не зависит от применяемого вида передачи.

Пусть амплитуда источника распределена равномерно на отрезке При квантовании этот отрезок делится на L интервалов, каждый длиной (рис. 9.2). Так как число L четное, то будет одинаковое число положительных и отрицательных интервалов. Легко показать, что для процесса, одномерная плотность вероятности которого

равномерная, ошибка квантования будет минимальной, если сделать интервалы одинаковой длины. При восстановлении сигнала на приемном конце при заданном шаге квантования ошибка квантования будет наименьшей, еели в качестве оценки выбирать значение сигнала в средней точке интервала. Устройство квантования обрабатывает выборку следующим образом. Первая двоичная цифра принимается равной 0, если выборка положительна, и равной 1, если выборка отрицательна.

Рис. 9.2. Схема квантования.

Вторая цифра равна нулю, если выборка находится в интервале или включая граничные точки. Если она попадает в интервал или цифра равна 1 и т. п.

Таким образом, подразделяя отрезок на две части, затем на четыре и т. д., пока не получится интервалов, вырабатывается вектор Квантованную выборку, которую будем обозначать , можно представить следующим образом:

где

Аналогичным образом воспроизведенную выборку можно представить в виде

где

Ошибка квантования не зависит от ошибки, вызываемой шумом в канале. Таким образом, знаменатель в (9.1) можно представить в виде

т. е. в виде суммы среднеквадратичной ошибки квантования и среднеквадратичной ошибки из-за шума в канале.

При равномерно распределенной выборке и при квантовании на L уровней средний квадрат ошибки квантования равен

Ошибка за счет шумов в канале в соответствии с (9.2) и (9.3) равна

так как

и

Если теперь обозначить вероятность ошибки в одном бите независимо от метода передачи, то . Тогда (9.6) принимает вид

и из (9.4) и (9.5) получаем следующее выражение среднеквадратичной ошибки:

В силу равномерного распределения

Из (9.1), (9.10) и (9.11) находим отношение сигнал/шум на выходе:

Для каждого из методов передачи можно определить вероятность ошибки на бит как функцию отношения сигнал/шум в канале и числа уровней квантования L на основе результатов гл. 7 и 8. Затем нужно выбрать значение L, максимизирующее . Эта задача и будет рассматриваться в остальной части этой главы.