4.9. Литература

Уравнение Фоккера — Планка для распределения вероятности, определяющее поведение динамической системы, известно уже более полувека. Ему уделялось значительное внимание в физической литературе тридцатых и сороковых годов [1—3]. Первые вводные параграфы этой главы в основном воспроизводят рассуждения Ванга и Уленбека [3] и Миддлтона [4]. Задача о первом прохождении была рассмотрена Сигертом [5] и Дарлингом и Сигертом [6]. В. И. Тихонов [7 и 8] первым применил уравнение Фоккера — Планка для определения стационарного распределения фазовой ошибки в системе фазовой автоподстройки. Автор [9] расширил и дополнил этот труд и получил выражение частоты перескоков в системе первого порядка.

Приближенное решение для системы более высокого порядка и при наличии модуляции сигнала случайным процессом, представленное в § 4.6-4.8, было впервые получено в [9]. В литературе были опубликованы и другие приближенные решения. Марголис [10] и Ван Трис [11] применили метод возмущений для определения дисперсии фазовой ошибки в установившемся состоянии в виде ряда, а Девлет [12] воспользовался квазилинейной моделью

Бутона [13] для получения приближенного значения дисперсии из решения трансцендентного уравнения. Однако и тот, и другой метод был разработан первоначально для нелинейностей типа полиномов и так же, как метод, основанный на линейной модели, не могут учесть влияния периодической нелинейности, с которой встречаются в рассматриваемой задаче.

1. Uhlenbeck G. E.,Ornstein L. S. On the Theory of Brownian Motion. Phys., Rev., vol. 36, Sept. 1930, p. 823—841.

2. Понтрягин Л. С., Андронов А. А., Витт A. A. О статистическом рассмотрении динамических систем. ЖЭТФ, 3, 1933, стр. 165. Андронов А. А. Собр. трудов. Изд. АН СССР, 1956, стр. 142.

3. Wang М. С., Uh1еnbесk Q. Е. On the Theory ol Brownian Motion 11. Rev. Mod. Phys., vol. 17, April-July, 1945, p. 323—342.

4. Middleton D. An Introduction to Statistical Communication Theory. New York, 1960.

Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи, том I. Пер. с англ., под ред. Б. Р. Левина. Изд-во «Советское радио», 1961.

5. Siеgеrt A. J. F. On the First Passage Time Probability Problem. Phys. Rev., vol. 81, Febr., 1951, p. 617—623.

6. Darling D. A., Siegert A. J. F. The First Passage Time Problem for a Continuous Markov Process. Ann. Math. Stat., vol. 24, 1953, p. 624—639.

7. Tиxонов В. И. Влияние шумов на работу схемы фазовой автоподстройки частоты. «Автоматика и телемеханика», 1959, № 9.

8. Тихонов В. И. Работа фазовой автоподстройки частоты при наличии шумов. «Автоматика и телемеханика», 1960, № 3.

9. Vitеrbi A. J. Phase-locked Loop Dynamics in the Presence of Noise by Fokker — Planck Techniques. Proc. IEEE, vol. 51, № 12, Dec. 1963, p. 1737—1753.

10. Margо1is S. G. The Response of a Phase-locked Loop to a Sinusoid plus Noise. IRE Trans. Inform. Theory, vol. IT-3, March, 1957, p. 135—144.

11. Van. Trees H. L. Functional Techniques for the Analysis of the Nonlinear Behavior of Phase-locked Loops. Proc. IEEE, vol. 52, № 8, Aug. 1964, p. 894—911.

12. Develet J. A., Jr. A threshold Criterion for Phase-lock Demodulation. Proc. IRE, vol. 51, № 2, Febr., 1963, p. 349—356.

13. Booton R. C. Jr. The Analysis of Nonlinear Control Systems with Random Inputs. Proc, Symp. on Nonlinear Circuit Analysis, Polytechnic Institute of Brooklyn, April, 1953, p. 369—391.

14. Левин Б. P. Теоретические основы статистической радиотехники, книга первая. Изд-во «Советское радио», 1966 г.

15. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское радио», 1966.

16. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2. Пер. с англ. Ю. В. Прохорова. Изд-во «Мир», 1967.

17. Большаков И. А., Гуткин Л. С., Левин Б. Р., Стратонович Р. Л. Математические основы современной радиоэлектроники. Изд-во «Советское радио», 1968.

18. Шахгильдян В. В., Ляховкин А. А. Фазовая автоподстройка частоты. Изд-во «Связь», 1966.