8.4. Предельные свойства ортогональных сигналов и теорема о кодировании
Особое значение, в частности, имеет исследование предельного поведения вероятности 
при ортогональных сигналах, если М неограниченно возрастает. Из (8.9) имеем
Если положить 
и рассмотреть предел логарифма выражения в скобках, то получим
Рассматривая M как непрерывную переменную величину и применяя правило Лопиталя, получим
Так как это выражение представляет предел логарифма выражения в скобках, то предел самого выражения равен
и выражение (8.15) принимает вид
Предел вероятности ошибки равен
Предельная кривая (имеющая вид ступеньки) также показана на рис. 8.3 и 8.6.
Предельные соотношения имеют особое значение с точки зрения теории информации. Формула Шеннона для пропускной способности канала с полосой W при помехах в виде аддитивного нормального шума с равномерной односторонней спектральной плотностью 
имеет вид
Она представляет наибольшую скорость безошибочной передачи в пределе, когда длительность сообщения неограниченно возрастает. Расширяя неограниченно полосу частот,
получим
Таким образом, из (8.16) и (8.17) следует, что применение ортогональных кодов обеспечивает неискаженную передачу в пределе при 
если скорость передачи
Конечно, при 
длительность сообщения также неограниченно возрастает, так как 
. Далее, как будет показано в следующем параграфе, минимальная полоса частот, занимаемая ортогональными сигналами, равна 
поэтому, когда 
при фиксированном значении R, ширина полосы частот также неограниченно возрастает.
Таким образом, было показано, что если на совокупность сигналов не накладываются ограничения по полосе частот, то ортогональные сигналы проявляют наилучшие возможные характеристики асимптотически при неограниченном возрастании М, так как они приводят к неискаженной передаче со скоростями, доходящими до пропускной способности канала связи. Однако будет показано, что и при конечных значениях М можно достичь высокого качества. В гл. 7 было показано, что при 
наилучшие результаты получаются при противоположных сигналах, при которых требуется отношение энергии сигнала к спектральной плотности шума точно вдвое меньшее по сравнению с ортогональными сигналами. В § 8.8 будет рассмотрен вопрос об оптимальном разделении сигналов при любых значениях М.
