8.10. Некогерентный прием ортогональных сигналов

Оптимальный приемник для некогерентного приема -ичной передачи состоит из совокупности М корреляционных детекторов огибающей, как показано на рис. 7.3. Однако оценка вероятности ошибки в общем случае значительно сложнее, чем для когерентного приема, так как теперь приходится иметь дело с квадратичными формами от коррелированных нормальных величин, что приводит к коррелированным райсовским величинам. Поэтому рассмотрение будет ограничено случаем ортогональных сигналов, когда процессы на выходе корреляторов независимы и получается выражение в явной форме. (Некогерентное детектирование совокупностей равноудаленных сигналов было рассмотрено Нателом [4], который при помощи весьма сложных вычислений получил выражение в виде одного интеграла.) Будет показано, что при больших значениях М качество некогерентного приема ортогональных сигналов почти не отличается от качества когерентного приема оптимальных трансортогональных сигналов и что асимптотически результаты совпадают.

Пусть передаваемые сигналы, как и в гл. 7, имеют вид

где — случайная равномерно распределенная величина. Качество зависит от величин причем, обобщая (7.43), (7.44), (7.45), имеем

Совокупность сигналов называется ортогональной, если для всех . Исследование качества некогерентного приема -значных ортогональных равновероятных сигналов с одинаковой энергией выполняется точно так же, как и в случае двоичных ортогональных сигналов в § 7.5, за исключением того, что там рассматривался частично когерентный прием. Однако выражения (7.56) — (7.63) можно применить в случае некогерентного приема, положив a = 0. (Можно было бы рассмотреть и частично когерентный прием, но получаемое для вероятности выражение было бы значительно сложнее.) Затем, предполагая, что был передан сигнал и обобщая формулы (7.61) и (7.62) для получаем, что отсчеты на выходах корреляторов , представляют независимые случайные величины с плотностями вероятностей

Таки образом, вероятность правильного решения при передаче сигнала равна

Обозначив

и учитывая, что (8.77) не зависит от , так как представляет переменную интегрирования, получаем

Но

и (8.78) принимает вид

Тогда, положив , получим

Вероятность ошибки равна

Заметим, что при из (8.81) следует

что совпадает с вероятностью ошибки (7.66) для некогерентного приема двоичных сигналов. На рис. 8.8 показана зависимость вероятности ошибки от отношения при ; эти кривые можно сравнить с соответствующими графиками для когерентного приема, показанными на рис. 8.3. Видно, что при разница пренебрежимо мала. Вероятность ошибки на бит можно найти из при помощи формулы (8.14). Заметим также, что первое слагаемое в (8.81) представляет верхнюю границу вероятности так как каждое последующее слагаемое меньше предыдущего, а знаки чередуются. Таким образом, имеем

что определяет верхнюю границу как для когерентного, так и для некогерентного приема ортогональных сигналов.

Предельная вероятность ошибки при совпадает с предельной вероятностью для когерентного приема оптимальных сигналов. Из (8.69) видно, что когерентный прием трансортогональных сигналов не лучше когерентного приема ортогональных сигналов, для которых предельная вероятность ошибки определяется формулой (8.16). Для некогерентного приема ортогональных сигналов получаем из (8.78), полагая

(см. скан)

Рис. 8.8. Вероятность ошибки при некогерентном приеме ортогональных сигналов (k = 1, 2,..., 10, 15, 20).

и

что

Обозначая

получаем

Но при любом действительном v

Вместе с тем, при стремится к нормальной плотности вероятности с нулевым средним и единичной дисперсией. Тогда, меняя местами переход к пределу и интегрирование, при имеем

или

что совпадает с (8.16) для когерентного приема.