9.4. Качество кодированной системы без задержки

Рассмотрим теперь случай, когда для передачи каждой выборки применяется сигнал длительностью и имеется L различных сигналов, по одному для каждого уровня квантования. В гл. 8 было показано, что при когерентном приеме трансортогональные коды приводят к наименьшей вероятности ошибочной передачи последовательности из всех кодов с равноудаленными сигналами и что эта вероятность равна

где L — число сигналов, а второй аргумент соответствует нормированному скалярному произведению пар равноудаленных сигналов, которое равно для трансортогональных кодов и 0 для ортогональных кодов.

В § 8.3 было показано, что для кодов с равноудаленными сигналами вероятность ошибки на один бит, выраженная через вероятность ошибки в последовательности, равна

Следовательно, из (9.12) имеем

так как для кодированной передачи

то из (9.17) следует:

Таким образом, зная вероятность которая представлена в функции отношения на рис. 8.3 при различных значениях k для ортогональных кодов, можно найти искомую вероятность для трансортогональных кодов при заданном значении отношения определив соответствующее отношение из (9.25) и в соответствии

(см. скан)

Рис. 9.4. Отношение сигнал/шум на выходе при кодированной импульсно-кодовой модуляции без запаздывания (когерентный прием).

с (9.23) найдя вероятность для этого значения, умноженного на . Если полученное значение подставить в (9.24), то получим отношение сигнал/шум на выходе для когерентного приема. Эта величина представлена на рис. 9.4 в функции отношения для различных L.

В § 8.10 было показано, что для некогерентного приема ортогональных сигналов вероятность ошибки последовательности определяется согласно (8.81) (она представлена на рис. 8.8 как функция отношения и ). Таким образом, при заданных отношении отношение находится из (9.25), а соответствующая вероятность из кривых рис. 8.8. Подставив полученное значение в (9.24), получим отношение сигнал/шум на выходе при некогерентном приеме, изображенное графически на рис. 9.5. Как и следовало ожидать из результатов, полученных в гл. 8, качество при некогерентном приеме для больших L почти такое же, как и при когерентном приеме. Из (8.82) находим верхнюю границу вероятности ошибки легко показать, что эта граница относится как к когерентному, так и к некогерентному приему. Отсюда и из (9.24) получаем

что дает нижнюю границу качества при кодированной передаче, применимую, когда L является степенью двух. Она представлена на рис. 9.4 и 9.5 вместе с выражением (6.346), соответствующим отношению сигнал/шум на выходе для системы с фазовой модуляцией, которая модулируется ограниченным по полосе процессом и демодулируется устройством с фазовой автоподстройкой частоты и нулевой задержкой.

В гл. 8 было показано, что полоса частот, занимаемая трансортогональным кодом с L сигналами длительностью , равна

и что для ортогонального кода эта полоса равна

(см. скан)

Рис. 9.5. Отношение сигнал/шум на выходе при кодированной импульсно-кодовой модуляции без запаздывания (некогерентный прием).

Таким образом, расширение полосы частот при когерентном и некогерентном кодировании равно соответственно

Эти значения полезно сравнить со значением, получаемым из (9.22) для некодированного метода передачи.