10.1. Захват частоты

Основная задача состоит в оценке частоты несущей по реализации принимаемого сигнала

где — стационарный нормальный шум с нулевым средним значением и корреляционной функцией . Можно предположить, что случайный фазовый угол имеет равномерную плотность вероятности, а частота также распределена равномерно в полосе т. е.

Использовав изложенные в гл. 5 методы и, в частности, формулу (5.28), получим, что логарифм совместной плотности

ности вероятности при заданном векторе у, компонентами которого являются k выборок , равен

где

и

Тогда при данном принимаемом сигнале

где С не зависит от и , a представляет решение матричного уравнения

Найдя формально предел (10.4) при получим

где представляет решение интегрального уравнения

Если предположить, как это было сделано во всех существенных случаях прежде, что энергетический спектр шума равномерный в достаточно широкой полосе частот, чтобы можно было принять , то из (10.7) следует:

и, таким образом, (10.6) для белого шума принимает вид

Так как, вообще говоря, и

то последний интеграл слабо зависит от , и, следовательно,

Но так как ищется оценка только со, то можно усреднить по и получить из (10.9)

Таким образом,

где

Рис. 10.1. Элемент устройства для оценки частоты.

Так как бесселева функция нулевого порядка представляет монотонно возрастающую функцию то оценка , соответствующая максимуму апостериорной плотности вероятности, равна тому значению со, которое максимизирует

Следовательно, устройство для получения оценки частоты по критерию максимальной апостериорной плотности вероятности состоит из континуума устройств в полосе , каждое из которых, в свою очередь, состоит из корреляционного детектора огибающей для одной частоты (рис. 10.1). Оценки со, максимизирующие , представляют оценку по критерию максимума апостериорной плотности вероятности (см. гл. 5).

В результате трудоемкого приближенного исследования было показано [1,2], что при оценка несмещенная , а дисперсия оценки равна

где представляет второй центральный момент огибающей сигнала . Так как в рассматриваемом случае огибающая сигнала есть постоянная величина, то

Таким образом,

Так как оптимальное устройство для получения оценки должно содержать несчетное множество блоков, изображенных на рис. 10.1, оно, очевидно, нереализуемо. Теперь покажем, что можно осуществить достаточно хорошее приближение к этому устройству, использовав не более таких блоков. Предположим, что передаваемая частота равна так что принимаемый сигнал имеет вид . Тогда для блока, соответствующего частоте , имеем

где опущены члены со знаменателем , который много больше единицы.

Тогда представляют нормальные случайные величины, средние значения которых равны первым слагаемым в (10.13) и (10.14) соответственно, а дисперсии равны

Имеем также

где вновь опущены члены, содержащие множитель . Заметим далее, что из (10.13) и (10.14) следует:

Если использовать М блоков настроенных на частоты таким образом, что две соседних частоты отличаются на величину то принимаемая частота со не может отличаться от частоты некоторого блока устройства оценки более чем на Для этого блока (10.18) имеем

Конечно, если случайно частота со совпадет с частотой одного из элементов, то эта величина будет точно равна . Следовательно, при использовании не более блоков мощность сигнала уменьшается максимум в раз (приблизительно на 1 дб). Действительно, так как величина представляет квадратный корень из суммы квадратов двух независимых нормальных величин с одинаковыми дисперсиями, то ей соответствует райсовская плотность вероятности и из (10.13) — (10.18) и § 7.5 имеем

Если бы все синусоиды, за исключением одной синусоиды частоты со, были ортогональны принятому сигналу частоты со, то вероятность Р выбора неправильного сигнала была бы такой же, как для некогерентного приемника для сигналов. Это не соответствует строго рассматриваемому случаю. Однако, как можно видеть из (10.13) и (10.14), скалярные произведения обратно пропорциональны модулю разности частот , так что для всех блоков, кроме блоков, частоты которых близки к частоте со, имеет место приближенная ортогональность. С другой стороны, если выбран блок, частота которого близка к частоте со, даже если он не явлйется ближайшим по частоте, то влияние ошибки будет меньше. Таким образом, для практических целей (см. также [3]) можно найти верхнюю границу величин Р, используя соотношение (8.82)

для ортогональных сигналов при . Таким образом,

Главным затруднением при осуществлении такого устройства оценки является необходимость применения очень большого числа параллельно работающих корреляторов огибающей. Однако в некоторых случаях на практике может оказаться возможной замена всей или части параллельной обработки последовательной. Очевидно, что при отсутствии требования о наименьшем времени на осуществление захвата принятый сигнал можно смещать при помощи гетеродинирования на величину через каждый интервал времени Т, и тогда потребуется только один фильтр. При этом, конечно, обработка занимает в 2WT + 1 раз больше времени, чем при параллельной обработке. При одном очень обещающем методе последовательной обработки требуется интервал времени, равный только 2Т. На протяжении интервала наблюдения Т принятый сигнал записывается аналоговым или цифровым способом. На протяжении последующего интервала он считывается М раз со сжатием времени в М раз и соответствующим расширением частот. Каждый раз частота вдвигается при помощи гетеродинирования на величину и сигнал поступает на коррелятор огибающей, выборки с выхода которого берутся через интервалы времени, равные Т/М. При Т порядка одной секунды методы цифровой записи могут обеспечить значение М порядка нескольких тысяч.

Другой метод реализации оптимального устройства оценки частоты можно получить, если преобразовать (10.11) к виду

где

Таким образом, получается, по крайней мере формально, что пропорциональна оценке автокорреляционной функции за конечное время. Конечно, если в содержится белый шум, то расходится с вероятностью единица. Это затруднение можно преодолеть, если сначала пропустить через полосовой фильтр, полоса прозрачности которого больше диапазона частот и гораздо больше, чем Хотя ни ни ее преобразование Фурье нельзя получить в реальном масштабе времени при помощи электронной аппаратуры, существует методика оптической обработки, дающая и автокорреляционную функцию процесса , и ее преобразование Фурье [4]. Существуют также устройства цифровой обработки, которые могут дать выборочные значения (10.22) с умеренным запаздыванием и достаточной точностью [5].

Еще два многообещающих метода определения в реальном времени при использовании электронных устройств с изменяющимися во времени характеристиками будут описаны и рассмотрены в двух последующих параграфах.

После того как получена достаточно точная оценка частоты, система фазовой автоподстройки может легко осуществить захват несущей, чтобы отслеживать фазу, если только ее полоса того же порядка, что и величина ошибки по частоте, которая, в свою очередь, обратно пропорциональна времени оценки. Предполагалось, что на протяжении периода оценки частота и фаза несущей оставались

неизменными, но фаза может быть случайным процессом, так как система фазовой автоподстройки может отслеживать его при условии, что ее полоса частот того же порядка, что и полоса частот процесса.