6.2. Амплитудная модуляция с одной боковой полосой и когерентная демодуляция

Обычный амплитудно-модулированный сигнал [см. (6.5)] представляет просто результат перемножения стационарного модулирующего процесса и несущей к которому прибавлена смодулированная несущая, как показано на рис. 6.4, а. Можно легко показать, что энергетический спектр такого промодулированного сигнала содержит симметричные относительно несущей частоты боковые полосы; отсюда и происходит название амплитудной модуляции с двумя боковыми полосами частот. Выражение энергетического спектра легко получается, если сначала определить корреляционную функцию. Если обозначить промодулированный сигнал

и считать начальный момент времени случайной величиной, равномерно распределенной, в пределах одного периода несущей, то промодулированный сигнал будет стационарным

процессом, если стационарен процесс . Его корреляционная функция равна

так как среднее значение процесса равно нулю.

Рис. 6.4 а. Амплитудный модулятор с двумя боковыми полосами.

Рис. 6.4 б. Амплитудный модулятор с одной боковой полосой.

Выполнив преобразование Фурье, найдем, что энергетический спектр имеет вид (рис. 6.5)

Как было показано в гл. 2, при варианте обычной амплитудной модуляции, так называемой модуляции с одной боковой полосой частот, к сигналу (6.15) прибавляется

произведение и модулирующего сигнала, который при этом преобразуется таким образом, что все его частотные составляющие сдвигаются по фазе на 90° (рис. 6.4 б); тогда получается

Рис. 6.5. Энергетические спектры модулирующего сигнала и сигналов, про модулированных с двумя и с одной боковой полосой.

Изменение фазы всех частотных составляющих сигнала на 90° эквивалентно выполнению преобразования Гильберта. Таким образом,

где Г3 обозначает главное значение по Коши. Тогда корреляционная функция сигнала будет

где

и

Соответствующие взаимные спектры имеют вид

где, конечно, берется главное значение последнего из интегралов и

Аналогичным способом можно доказать, что

Тогда из (6.18) получим

Наконец, используя (6.19) и (6.20), находим

Таким образом, как это показано и на рис. 6,5, при такой операции исключаются нижние боковые частоты и вследствие этого получается модуляция с одной боковой полосой частот. Следует заметить, что выраженная соотношением (6.17) линейная операция реализуема только при неограниченном запаздывании. Применяемые практически модуляторы с одной боковой полосой частот приближаются по результатам при большом, но конечном запаздывании и вносят эквивалентное запаздывание в .

Рассмотрим демодуляцию сигнала с одной боковой (6.16) при помощи того же когерентного демодулятора, какой применялся при амплитудной модуляции с двумя боковыми полосами частот (рис. 6.1).

Умножив выражение

на , вычтя А и отбросив все слагаемые, в аргументах которых содержится получим Таким образом, процесс на входе фильтра содержит такую же составляющую шума, как и при амплитудной модуляции с двумя полосами частот, а мощность составляющей, содержащая модулирующий процесс, уменьшается вдвое, так как этот демодулятор исключает составляющую .

С другой стороны, если перемножить сигнал (6.23) с повернутой по фазе на 90° несущей то получим (рис. 6.6)

Шумовые составляющие обоих процессов на выходе перемножителя независимы и имеют одинаковые энергетические спектры. Если произвести обратное преобразование Гильберта второго процесса, то восстановится процесс плюс шумовая составляющая с неизменным спектром. Обратное преобразование можно выполнить, если вновь сдвинуть фазы всех частотных составляющих на 90°. Это преобразование вместе с первоначальным преобразованием

дает процесс со сдвигом фаз на 180°, а последний равен . Пропустив его через фазоинвертор (умножение на —1), получим .

Суммируя эти два процесса, получаем

Таким образом, сигнал на входе линейного фильтра такой же, как и в случае амплитудной модуляции с двумя боковыми полосами частот, за исключением того, что мощности модулирующего процесса и шума удвоены.

Рис. 6.6. Когерентный демодулятор для сигналов, промодулированных по амплитуде с одной боковой полосой.

Следовательно, оптимальный линейный фильтр для получения оценки процесса должен быть таким же, как фильтр для получения оценки при амплитудной модуляции с двумя боковыми, за исключением коэффициента усиления 1/2. Качество этих фильтров с точки зрения отношения сигнал/шум на выходе, очевидно, одинаково. Заметим также, что при подавлении несущей не возникает никаких потерь, если в месте приема имеется идеальный эталон фазы.

Единственное преимущество амплитудной модуляции с одной боковой полосой частот по сравнению с амплитудной модуляцией с двумя полосами боковых частот состоит в уменьшении вдвое передаваемой полосы частот. Мнение, что отношение сигнал/шум на выходе при амплитудной модуляции с одной полосой боковых частот вдвое больше,

чем при амплитудной модуляции с двумя боковыми полосами частот, вследствие сужения полосы является распространенным недоразумением. Источником этой ошибки является тот факт, что при обычной некогерентной демодуляции перед демодулятором включается фильтр, который пропускает вдвое большую мощность шума по сравнению со случаем когерентной демодуляции. Этот вопрос будет рассмотрен подробнее в § 6.6. Однако когерентная демодуляция дает для обеих систем одинаковые результаты.