3.1. Система первого порядка, на вход которой действует сигнал постоянной частоты.

Если система не содержит фильтра, то и уравнение (3.1) принимает вид

Если частота принимаемого сигнала постоянна, то так что и уравнение (3.2) переходит в

Поучительно построить график зависимости ошибки по частоте от ошибки по фазе (рис. 3.2). Ошибка достигает стационарного состояния, когда .

Рис. 3.2. Зависимость ошибки по частоте от ошибки по фазе в петле первого порядка.

Обозначим начальную фазовую ошибку Если при этом значении ошибки ее производная положительна, то будет увеличиваться со временем. Действительно, состояние системы будет изменяться в соответствии с изображенной на рис. 3.2 траекторией, двигаясь направо, пока не достигнет значения для которого Аналогично, если производная, соответствующая значению ошибки , отрицательна, то ошибка будет уменьшаться, состояние системы будет перемещаться по кривой налево,

пока не достигнет точки, в которой производная равна нулю. И в том и в другом случае эта точка устойчива, так как при небольших отклонениях ошибки в любом направлении система будет стремиться возвратиться в эту точку.

Из рис. 3.2 или соотношения (3.3) ясно, что при следующих значениях

если Однако устойчивые состояния соответствуют только значениям а значениям соответствуют неустойчивые состояния, так как возмущение в любом направлении заставляет состояние системы изменяться до тех пор, пока она не достигнет ближайшего положения, когда производная обратится в нуль, а это состояние будет устойчивым и соответствовать точке рис. 3.2). Ясно, что при не существует устойчивых состояний и фазовая ошибка будет беспредельно возрастать или убывать, а состояние системы перемещаться по синусоидальной траектории на фазовой Плоскости.

Точное поведение фазовой ошибки можно определить из уравнения (3.3), вычислив интеграл

Этот интеграл определяет время, необходимое, чтобы ошибка по фазе изменилась от ее начального значения до значения его можно выразить через элементарные функции.

Если , то должно быть больше , а при меньше. И в том и в другом случае положительна и монотонно возрастает при увеличении разности Следовательно, можно определить точную зависимость от времени, если найти функцию, обратную при известном начальном значении .

Только что было показано, что стационарным значением фазовой ошибки должно быть то, которое соответствует

одной из устойчивых точек траектории на фазовой плоскости:

где

В § 2.4 было найдено, что при линейном приближении

Если рассмотреть фазовую ошибку в пределах одного периода, то видно, что линейная модель дает хорошее приближение к точному решению (3.6), если меньше 1 рад.