2.7. Влияние аддитивного шума и других помех

Как было упомянуто в первой главе, тепловой шум является самой существенной и неизбежной помехой в большинстве систем радиосвязи; этот шум представляет широкополосный нормальный процесс с нулевым средним значением, его энергетический спектр почти равномерный в поло частот приемника (так что практически его можно считать белым). Обычно в качестве количественной оценки белого шума используется мощность, которая прошла бы через идеальный полосовой фильтр, нормированная по полосе пропускания фильтра. Это величина обычно называется односторонней спектральной плотностью шума и обозначается . Как было указано в гл. 1 , где k — постоянная Больцмана, температура системы,

Действительная же спектральная плотность, которую иногда называют двухсторонней плотностью, так как она представляет мощность шума, нормированную по полосе фильтра, как для положительных, так и для отрицательных частот, равна . Для удобства допускаем, что белый шум был пропущен через симметричный широкополосный полосовой фильтр с центральной частотой и плоской частотной характеристикой, пропускающий только частоты ниже, чем рад/сек. Таким образом, можно считать, что спектральная плотность шума равна в достаточно широкой полосе частот центр которой близок к где Для частот плотность пренебрежимо мала; при она представляет четную функцию со а для частот четную функцию . В гл. 1 и приложении А показано, что узкополосный нормальный стационарный случайный процесс,

имеющий нулевое среднее значение и описанную выше спектральную плотность, можно представить в виде

где представляют независимые нормальные процессы с нулевым средним и одинаковыми энергетическими спектрами, такими же, как энергетический спектр процесса , но смещенными в область низких частот, так что они центрированы около нулевой частоты. Таким образом, процессы имеют энергетический спектр, представляющий четную функцию, равную в достаточно широкой полосе частот , где

Исследуем, как аддитивный нормальный шум влияет на работу системы фазовой автоподстройки частоты. Представим, используя (2.46) и (2.19 а), принимаемый сигнал в виде

Сигнал на выходе управляемого генератора [см. рис. 2.2 и формулу (2.196)] равен

Конечно, в рассматриваемом случае зависит не только от модулирующего сигнала , но и от шума.

Сигнал на выходе перемножителя имеет вид

Все слагаемые, частоты которых близки к рад/сек, можно отбросить как малые, так как спектр первого слагаемого относительно узок, а энергетические спектры компонент шума пренебрежимо малы при . Кроме того, собственная частота управляемого генератора гораздо выше диапазона частот, пропускаемого элементами системы. Таким образом, сигнал, действующий на управляе

генератор, который прошел через фильтр с выхода перемножителя, можно представить в виде

где

Если ввести обозначения

то из (2.8), (2.16) и (2.19) следует:

Этому соотношению соответствует блок-схема, приведенная на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Блок-схема фазовой автоподстройки частоты с учетом аддитивного шума.

Для дальнейшего необходимо знать статистические характеристики шума . Введем величину

Если — стационарный нормальный процесс, то представляют независимые стационарные нормальные процессы, имеющие одинаковые распределения, как указано выше.

Пусть случайный вектор, составляющими которого являются значения случайного процесса в N последовательных моментов времени. Подобным же образом, пусть есть -мерные случайные векторы, составляющими которых являются значения соответствующих случайных процессов в те же моменты времени.

Заметим, прежде всего, что для любого заданного момента времени фаза независима от компонент шума . Энергетические спектры шумов равномерны в полосе процессы не коррелированы с процессами , а следовательно, и независимы от них при , где k — достаточно велико. С другой стороны, так как системе фильтр — управляемый генератор соответствует передаточная функция, охватывающая очень узкий диапазон частот по сравнению с Р, то фаза независима от шума при Отсюда можно заключить, что фаза независима от значений шума но может зависеть от значений при любых значениях . И так как можно предположить, что ширина полосы процессов гораздо больше полосы пропускания элементов системы, то при рассмотрении работы системы практически можно считать, что время декорреляции этих процессов сколь угодно мало. Тогда из того, что процессы нормальные, следует, что величины все взаимно независимы при .

Рассмотрим теперь -мерную совместную характеристическую функцию векторов :

Совместную плотность вероятности векторов и можно представить в виде произведения

где

и

- исходные векторы компонент шума, в которых отброшены последние составляющие.

Подставив приведенную формулу в выражение характеристической функции, получим

Так как процессы точно определяются из (2.47 а) и (2.47 б), если заданы процессы то при вычислении условного среднего все члены произведения, кроме последнего, можно вынести за знак интегрирования. Тогда получим

Однако, как было только что замечено, величины независимы от для всех значений и независимы от для всех значений . Далее, так как являются независимыми стационарными нормальными процессами с одинаковыми статистическими характеристиками, то имеем

где .

Используя это соотношение и формулы (2.47 а, б), найдем, что внутренний интеграл в (2.49) можно представить в виде

Таким образом, формула (2.49) принимает следующий вид:

Повторяя приведенные рассуждения раз и последовательно рассматривая составляющие вектора, соответствующие моментам получим

Эта формула представляет совместную характеристическую функцию независимых нормальных случайных величин с нулевым средним и дисперсией

Таким образом, выборки процесса , отделенные промежутками времени, превышающими интервал корреляции процесса взаимно независимы и их статистические характеристики всех конёчных порядков нормальные. Следовательно, практически можно рассматривать процесс как нормальный процесс с равномерным энергетическим спектром, равным до частоты которая гораздо больше полосы частот, пропускаемых элементами системы.

Аддитивную помеху иного рода представляет паразитная модуляция. Амплитудная модуляция несущей является паразитной в том смысле, что она мешает работе системы фазовой автоподстройки. Пусть модулированная несущая имеет вид

и мощность немодулированной несущей. Это соответствует модуляции с двумя боковыми полосами. Тогда низкочастотная составляющая сигнала на выходе перемножителя будет

Ясно, что основное уравнение (2.48) и модель, изображенная на рис. 2.9, остаются такими же, за исключением замены постоянного усиления Л изменяющимся во времени усилением Верхняя граница влияния модуляции получается, если заметить, что следовательно, при замене а на а помеха увеличивается и амплитудная модуляция входит в уравнения таким же образом, как составляющая шума . Таким образом, рассматривая амплитудную модуляцию как составную часть аддитивного шума, получим верхнюю оценку искажений.

Если модуляция имеет характер амплитудной модуляции с одной боковой полосой, то принимаемый сигнал можно представить в виде

где представляет модулирующий процесс, фазы всех частотных составляющих которого сдвинуты на Тогда низкочастотная составляющая сигнала на выходе перемножителя

будет

Модулирующий процесс проявляется таким же образом, как шум в выражении (2.42). Следовательно, влияние модулирующего процесса а можно рассматривать так же, как в нашей модели рассматривалось влияние аддитивного шума. Более того, если модулирующий процесс нормальный и достаточно широкополосный, чтобы его можно было считать белым в диапазоне частот системы, то в изображенной на рис. 2.9 модели возмущение, создаваемое амплитудной модуляцией с одной боковой полосой, можно рассматривать как шум.

Рассмотрим, наконец, случай синусоидальной несущей, промодулированной любым способом, частота которой отлична от частоты несущей, которую необходимо отслеживать или демодулировать.

Обозначим сигнал

где представляет амплитудную модуляцию, а слагаемое учитывает смещение центральной частоты и любую фазовую или частотную модуляцию.

В сигнале на выходе перемножителя получается низкочастотная составляющая

которую также можно рассматривать как аддитивную помеху.