1.2. Случайные процессы и линейные системы
Пусть 
представляет реализацию случайного процесса со средним 
и непрерывной корреляционной функцией
который может представлять либо шум, либо случайную модуляцию. Процесс называется стационарным в широком смысле, если и среднее, и корреляционная функция не зависят от о. Если предполагается, что процесс стационарен в широком смысле, то можно обозначить среднее и корреляционную функцию соответственно 
.
Если, кроме того, 
ограничен, так что в процессе не содержатся периодические составляющие, то корреляционная функция и энергетический спектр 
связаны друг с другом преобразованием Фурье, т. е.
Заметим, что энергетический спектр вполне определен, если только корреляционная функция не зависит от времени, для чего требуется лишь, чтобы разность 
была стационарной в широком смысле.
Пусть 
процесс на входе инвариантной во времени линейной системы 
Процесс на выходе этой системы
где 
называется импульсной переходной функцией линейной системы. Если рассматривается линейная система с сосредоточенными постоянными, например цепь RLC, то функция 
представляет решение линейного дифференциального уравнения, правой частью которого является входной процесс. Если система устойчива, то 
ограничен, и, следовательно, можно рассматривать пару преобразований Лапласа
Функция 
называется передаточной функцией системы. Если параметры линейной системы сосредоточенные, то 
представляет рациональную функцию s.
Среднее процесса на выходе равно
а корреляционная функция равна
Если процесс на входе стационарен в широком смысле и если перейти к пределу 
что соответствует установившемуся состоянию, то корреляционная функция (1.6) станет независимой от t. Таким образом, в установившемся состоянии процесс на выходе инвариантной во времени линейной системы, на входе которой имеется стационарный в широком смысле процесс, также стационарен в широком смысле. Однако если входной процесс воздействовал на систему на протяжении лишь конечного промежутка времени, так что установившееся состояние не было достигнуто, то процесс на выходе не будет стационарным. В случае установившегося и стационарного в широком смысле процесса можно выразить энергетический спектр выходного процесса через энергетический спектр входного процесса и передаточную функцию системы с помощью соотношений (1.1), (1.4) и (1.6). Имеем
