6.3. Оптимальная фазовая демодуляция

В § 5.5 было показано, что для принимаемого сигнала

где — белый нормальный шум, оптимальный фазовый демодулятор с нулевым запаздыванием можно приближенно заменить системой фазовой автоподстройки частоты, у которой передаточная функция фильтра равна

где — преобразование Фурье решения уравнения Винера — Хопфа

в предположении, что ошибка оценки фазы почти для всех, моментов времени достаточно мала, так что

Следует заметить, что критерий, использованный для оптимизации оценки фазы (т. е. минимизация позволяет также убедиться, что линейное приближение достаточно точно.

Общая схема системы связи с фазовой модуляцией изображена на рис. 6.7 а. Демодулятор в виде фазовой автоподстройки

частоты можно использовать для иллюстраций интересной особенности оптимальных демодуляторов, которой обладают и демодуляторы при амплитудной модуляции с двумя боковыми и с одной боковой полосами частот (рис. 6.1, 6.4 и 6.6). Оптимальный демодулятор по существу является копией модулятора.

Рис. 6.7 а, Схема системы связи с фазовой модуляцией.

В случае амплитудной модуляции с двумя боковыми модулятор и демодуляторы представляют простые перемножители, а в случае амплитудной модуляции с одной боковой оба они состоят из пары перемножителей, фазовращателя и сумматора. При фазовой модуляции цепь обратной связи в демодуляторе идентична модулятору и работу демодулятора можно объяснить следующим образом. Сперва предположим, что известна некоторая оценка модулирующего процесса. При помощи дифференцирующего устройства и управляемого генератора местная несущая модулируется этой оценкой и полученный процесс сравнивается с принимаемым сигналом при помощи перемножителя, действующего как фазовый детектор. Наконец применяется фильтр для того, чтобы по возможности избавиться от влияния шума. Процесс на выходе фильтра представляет тогда улучшенную оценку, и вся процедура повторяется.

Среднеквадратичная ошибка на выходе демодулятора равна ошибке оценки:

где представляет решение уравнения (6.26) и является импульсной переходной функцией замкнутой петли для линейной модели, изображенной на рис. 6.76. Следовательно, как было показано в § 5.5, импульсная переходная

функция замкнутой петли и среднеквадратичная фазовая ошибка остаются такими же, как при амплитудной демодуляции с нулевым запаздыванием, а плотность шума уменьшается в раз.

Рис. 6.76. Линейная модель фазового демодулятора.

Таким образом, при спектре модулирующего процесса вида (6.1) передаточная функция фильтра петли по аналогии с формулой (6.7) равна

где

В частности, при

и реализуется при помощи однокаскадного низкочастотного -фильтра. По аналогии с (6.11) среднеквадратичная ошибка равна

Однако она была найдена при помощи линейной модели. В § 4.8 было показано, что — фактическая дисперсия

фазовой ошибки по модулю — связана с дисперсией , определенной при помощи линейной модели, приближенным соотношением

На рис. 4.8 представлена зависимость от . Отношение сигнал/шум на выходе в данном случае равно

На рис. 6.8 и 6.9 изображена зависимость , определенная подстановкой (6.31) в формулу (6.33), от для различных значений х в предельных случаях:

Рис. 6.8. Отношение сигнал/шум на выходе когерентного демодулятора сигналов с фазовой модуляцией (нулевое запаздывание; k = l).

Кривые начерчены сплошными линиями только

до точки, в которой . За этой точкой частота перескоков существенно ухудшает фазовую автоподстройку. На самом деле в § 4.8 показано, что частота перескоков так что при она становится равной ширина полосы.

Рис. 6.9. Отношение сигнал/шум на выходе когерентного демодулятора сигналов с фазовой демодуляцией (нулевое запаздывание, ).

Все же, даже если на протяжении всей передачи произошел перескок на один период, оценка будет отличаться от на рад с момента перескока. Так как по предположению, равно нулю, что подразумевает

модулирующий процесс не содержащим постоянной составляющей, то избежать последствий перескока можно, включив после петли простой однокаскадный высокочастотный -фильтр, состоящий из последовательного (блокирующего) конденсатора и параллельного сопротивления. Конечно, при этом будут искажены низкочастотные составляющие процесса на выходе. Но так как при частота перескоков крайне низка, можно выбрать элементы фильтра так, чтобы постоянная времени RC была достаточно мала и искажение модулирующего процесса было незначительным.

Довольно просто определить качество системы у порога, который определяется как отношение сигнал/шум, соответствующее Из (6.31), (6.32) и (6.33) находим зависимость отношения сигнал/шум на выходе от причем значение выбирается так, чтобы Пороговое отношение сигнал/шум равно

Зависимость этого отношения от представлена на рис. 6.10 при и в пределе при . В предельных случаях (6.34) приводится к виду

Важно заметить, что при фазовой модуляции полная принимаемая мощность равна и не зависит от мощности модулирующего сигнала которая равна среднеквадратичной девиации промодулированной несущей. Величина по существу представляет отношение сигнал/шум в канале в полосе по уровню 3 дб модулирующего процесса и соответствует величине при амплитудной модуляции, за исключением того, что во втором случае представляет только принимаемую мощность модулирующего процесса, тогда как в первом случае представляет полную принимаемую мощность. Из формулы (6.34) и рис. 6.10 видно также, что качество системы с фазовой модуляцией очень сильно зависит от спектра модулирующего процесса,

причем разница между предельными случаями выражена гораздо сильнее, чем при амплитудной модуляции [см. (6.12)].

Рис. 6.10. Пороговое отношение сигнал/шум на выходе когерентного демодулятора сигналов с фазовой модуляцией (нулевое запаздывание).

Как было показано в гл. 5, оптимальный фазовый демодулятор с неограниченной задержкой нельзя приближенно осуществить в виде системы фазовой автоподстройки, так как приближение основано на достаточной точности формулы (6.27), которое нельзя обеспечить, если оценка модулирующего процесса запаздывает от него на большой

интервал времени. Однако ничто не может помешать включить после демодулятора с нулевой задержкой линейный фильтр, который внес бы произвольно длительное запаздывание.

Если принять линеаризированный вариант демодулятора, то комбинацию из демодулятора и фильтра можно рассматривать как единую линейную систему (рис. 6.11).

Рис. 6.11. Линеаризированная модель демодулятора и выходного фильтра для получения оценки с запаздыванием.

Можно допустить, что демодулятор был построен для получения оценки с нулевым запаздыванием, так как приближенное соотношение (6.27) требует малой величины среднеквадратичной ошибки при нулевом запаздывании, и попытаться определить оптимальную передаточную функцию выходного фильтра. Можно также (что эквивалентно) искать наилучшую величину произведения для получения оценки при заданной величине где представляет уже определенную передаточную функцию замкнутой петли. В пределе при неограниченном запаздывании из (5.96) при спектре вида (6.1) получим

Отсюда, разделив на имеем

Очевидно, эта функция реализуема только в пределе при неограниченном запаздывании.

Для того чтобы оценить влияние введения запаздывания, нужно найти дисперсию ошибки и сравнить ее с соответствующим выражением для нулевого запаздывания (6.31). Согласно (5.98) наименьшая среднеквадратичная ошибка при соответствующей неограниченной задержке равна

где

Следует подчеркнуть, что рассмотрение построения и качества такого демодулятора с неограниченным запаздыванием основано на существенном предположении линейности, так как передаточная функция выходного фильтра выбирается таким образом, чтобы аннулировать некоторые из нулей передаточной функции системы, которая представляет точно ее работу только при малых фазовых ошибках.

Так как наилучшие результаты для системы с фазовой модуляцией, содержащей демодулятор с нулевым запаздыванием, были получены при равномерном, ограниченном по полосе энергетическом спектре (), представляется очень интересным рассмотреть улучшение в этом

случае при применении выходного фильтра с неограниченным запаздыванием. Из (6.36) и (6.31) находим

Выражение (6.37) представлено графически на рис. 6.12 для различных значений в диапазоне значений отношения при которых знаменатель (равный дисперсии фазовой ошибки) не более 1/4.

Рис. 6.12. Отношение среднеквадратичной ошибки при неограниченном запаздывании к среднеквадратичной ошибке при нулевом запаздывании для фазовой модуляции

Таким образом, при достаточно большом отношении сигнал/шум в канале применение выходного фильтра с неограниченным запаздыванием приводит к небольшому улучшению, но вследствие столь сильной зависимости выводов от линейности системы представляется сомнительной возможность расширения порога демодулятора при помощи фильтра.