8.8. Общие свойства и оптимальные сигналы

Вероятность ошибки для равновероятных сигналов одинаковой энергии, принимаемых когерентно при наличии белого нормального шума, зависит только от матрицы их скалярных произведений . В гл. 7 было показано, что при вероятность ошибки возрастает монотонно при возрастании скалярного произведения. Это свойство можно обобщить, доказав, что

Если продифференцировать (8.53) по , то получим

Но вводя функцию единичного скачка , находим

где

Отсюда с учетом (8.55) и (8.56) получим

где выполнено интегрирование по частям и использовано то обстоятельство, что

Далее, так как подынтегральное выражение повсюду неотрицательно, то

Такое же рассуждение применимо, если заменить 1 на t, а также 2 на этим заканчивается доказательство неравенства (8.54).

Изложенное выше рассуждение наводит на мысль, что для минимизации вероятности ошибки при заданной совокупности сигналов следует попытаться сделать по возможности малыми все скалярные произведения . Конечно, сделать все недиагональные скалярные произведения равными —1 при невозможно . На самом деле легко показать, что матрица должна быть неотрицательно определенной. Если рассмотреть линейную комбинацию сигналов

которая должна быть функцией, интегрируемой с квадратом, то

при любых значениях действительных чисел .

Из (8.59) следует, что среднее арифметическое недиагональных скалярных произведений не может быть меньше,

чем так как

Но при любых , и если в выражении (8.59) положить то получим так что из (8.60) следует

Код или совокупность сигналов, для которой при любых называется кодом с равноудаленными сигналами. Из (8.61) следует, что для кода с равноудаленными сигналами для всех

Трансортогональный или регулярный симплексный код, полученный в § 8.6, является кодом с равноудаленными сигналами, при котором достигается нижняя граница. Матрица его сингулярна, так что для определения вероятности нельзя воспользоваться формулами (8.8) и (8.53). Однако в следующем параграфе будет показано, что в данном случае вероятность связана простым соотношением с вероятностью ошибки для ортогональных сигналов. Биортогональный код приводит к нижней границе для . Ему также соответствует сингулярная матрица, и его приходится рассматривать особо [2], если необходимо получить точное значение вероятности Рот. Верхняя граница для вероятности указана в § 8.9.

Наконец, будет показано, что при любом значении отношения вероятность ошибки для совокупности трансортогональных сигналов представляет местный минимум в пространстве всех возможных матриц скалярных произведений. Так как при данном значении отношения

вероятность ошибки представляет функцию лишь переменных ее можно обозначить Из (8.58) следует, что в любой точке пространства измерений, для которой при всех частные производные от по каждому из все равны одной и той же положительной постоянной. Применив предельный переход, можно доказать, что это верно и при . Обозначим эту положительную постоянную D при . Тогда, используя ряд Тейлора, получим

где представляет вторую производную в точке .

Отсюда и из (8.60) и (8.61) следует, что первый член не отрицателен. Далее, Балакришнан [3] показал путем, аналогичным рассуждению, проведенному при выводе формулы (8.58), что второй член суммы положителен при всех реализуемых совокупностях сигналов, кроме трансортогональных. Отсюда следует, что для реализуемых совокупностей сигналов в достаточной малой окрестности точки при всех правая часть выражения (8.63) положительна, и, следовательно, трансортогональная совокупность представляет локальный оптимум. Балакришнан показал, кроме того, при помощи более сложных рассуждений, что если существует совокупность сигналов, при которой достигается минимальное значение вероятности ошибки для любых значений отношения , то эта совокупность должна быть трансортогональной (или регулярной симплексной).