4.5. Системы высших порядков

В § 4.1 было показано, что процесс, возникающий при воздействии на линейную систему второго порядка белого нормального шума, не является марковским. Однако теперь будет показано, что линейное дифференциальное уравнение порядка, определяющее процесс на выходе системы порядка, возбуждаемой белым нормальным шумом, можно заменить уравнениями первого порядка, определяющими процесс и его первые производных, которые образуют -мерный векторный марковский процесс.

Пусть процесс описывается уравнением

где представляет стационарный «белый» нормальный случайный процесс. Введем случайные величины:

Тогда

и из (4.59) с учетом (4.60) получим

Таким образом, компонент векторного процесса

являются решениями линейных дифференциальных уравнений первого порядка (4.61) и (4.62). Этот векторный процесс марковский, так как мгновенные приращения каждой компоненты процесса зависят только от значения других компонент в данный момент и от возбуждающего процесса, который представляет белый шум.

Таким образом, задача состоит в отыскании совместной -мерной плотности вероятности в момент t

Обобщая вывод для одномерного случая, изложенный в § 4.2, можно показать, что векторный марковский процесс удовлетворяет n-мерному уравнению Смолуховского:

которое является обобщением уравнения (4.10). Отсюда, заменяя произвольную аналитическую функцию в формуле (4.11) на -мерную, при соответствующих допущениях можно вывести -мерное уравнение Фоккера—Планка:

с начальным условием

Величины определяются как пределы нормированных моментов и смешанных моментов

приращений компонент процесса следующим образом

При выводе уравнения (4.64) моменты порядка выше второго исключаются таким же образом, как при выводе уравнения (4.17), если допустить, что они стремятся к нулю быстрее, чем при . Это допущение можно проверить и определить моменты первого и второго порядка (4.65) из дифференциального уравнения порядка, описывающего процесс. Тогда решением уравнения (4.64) при соответствующих функциях является искомая плотность вероятности.

В приложениях для определения среднего необходимо получить из интегро-дифференциального уравнения, описывающего процесс, систему дифференциальных уравнений первого порядка. Решение этой задачи не так просто, как рассуждение, приведшее от (4.59) к формулам (4.61) и (4.62). Трудность связана частично с возможным нелинейным характером дифференциального уравнения, а частично с тем, что возбуждающей функцией является белый нормальный шум, который не дифференцируем. Поясним последнее обстоятельство на примере. Рассмотрим линейную систему, передаточная функция которой имеет вид

при произвольном процессе на входе . Процесс на выходе связан с процессом на входе дифференциальным уравнением

Уравнение (4.66) приводится к (4.59), если положить при . Однако если представляет белый шум, то уравнение (4.66) не имеет смысла, так как производные белого шума не существуют. Эту дилемму можно разрешить, если заметить, что процесс на выходе связан с процессом , решением

уравнения (4.59) и его производными уравнением

Как было указано выше, можно найти совместную плотность вероятности и его первых производных решив уравнение Фоккера — Планка (4.64). Затем можно найти вычислив -кратный интеграл

Для рассматриваемой здесь фазовой ошибки системы высокого порядка положение усложняется еще из-за нелинейности системы. Ниже будет определен векторный марковский процесс и соответствующее уравнение Фоккера—Планка для системы второго порядка, которая имеет большое значение, и будут приведены соответствующие выводы для системы n-го порядка, которые получаются путем очевидного обобщения. Дифференциальное уравнение для системы фазовой автоподстройки второго порядка (4.1), при передаточной функции фильтра (см. § 2.4) вида

на вход которой воздействует синусоидальная функция постоянной частоты, приводится к виду

Дифференцировать дальше невозможно, так как это привело бы к уравнению, содержащему производные белого шума. Вместо этого сделаем подстановку

преобразующую (4.69) в уравнение, которое можно заменить следующей системой двух уравнений:

решения которых одинаковы, за исключением произвольной постоянной. Если теперь определить двумерный случайный процесс аналогично тому, как это было сделано для линейного случая [см. (4.60)]:

то получим два дифференциальных уравнения первого порядка

Из (4.73) следует, что процесс является векторным (двумерным) марковским. Остается только вычислить коэффициенты (4.65) и подставить их в уравнение Фоккера — Планка (4.64) при . Рассуждая так же, как и в случае системы первого порядка (§ 4.3), получим

откуда следует, что:

Аналогичным образом можно проверить, что все моменты высших порядков обращаются в нуль, так что остается в силе уравнение Фоккера—Планка. Тогда уравнение (4.64) принимает вид

с начальным условием

Из (4.70) и (4.72) следует, что фазовая ошибка связана с компонентами векторного процесса следующим образом:

так что

Обобщение на случай системы порядка получается непосредственно, если ввести передаточную функцию этой системы в виде

Полюс при s = 0 здесь включен намеренно, чтобы исключить влияние начальной разности частот на установившуюся фазовую ошибку, как это было сделано при рассмотрении системы второго порядка. Вытекающее отсюда -мерное уравнение Фоккера — Планка для имеет

вид

причем

при соответствующих начальных условиях. Плотность вероятности получается из путем -кратного интегрирования (4.68). Очевидно, что уравнение (4.77) при приводится к (4.74).