3.3. Систёма второго порядка при линейно изменяющейся частоте входного сигнала

Если частота принимаемого сигнала линейно изменяется со временем, как это бывает, когда передатчик имеет постоянное радиальное ускорение по отношению к приемнику, то

Тогда уравнение (3.1) для системы второго порядка принимает вид

Выполнив точно такие же преобразования и подстановки как в формулах (3.7) до (3.10), получим

где

Таким образом, наклон траекторий равен

Особые точки, в которых наклон становится неопределенным, теперь определяются соотношениями

и

Следовательно, если , то обе совокупности особых точек совпадают, а если

то особых точек нет. Ниже будет показано, что неравенства (3.27) являются условием неустойчивости. Это означает, что если допплеровский сдвиг R удовлетворяет этому условию, то система не только никогда не сможет находиться

в состояний захвата, но что даже, будучи первоначально захваченной, она при подаче возбуждения медленно уходит из этого состояния.

Траектории на фазовой плоскости можно получить при помощи расчетов на аналоговых устройствах, применяя устройство, соответствующее схеме, приведенной на рис. 3.1, добавив постоянное смещение, равное на первый интегратор. С помощью такого устройства были получены графики, приведенные на рис. при и различных отношениях

Из этих графиков можно сделать следующие выводы:

1. Для линейно изменяющейся частоты особые точки имеют такой же характер, как и при постоянной частоте. Единственное различие состоит в том, что устойчивая точка сместилась вправо на расстояние а седловая точка сместилась влево на такое же расстояние, как это и было предсказано. Так как устойчивой точке соответствует захват фазы, то ясно, что установившаяся ошибка по фазе в системе второго порядка при линейном возбуждении равна . Рассмотренное в § 2.4 линейное приближение предсказывает установившуюся ошибку по фазе, равную табл. 2.1), что верно только при малых значениях этого отношения.

2. Траектории имеют выраженную несимметрию по отношению оси При малых значениях отношения (рис. 3.8) в верхней полуплоскости все траектории над линией ВВ расходятся сначала медленно, а при возрастании ошибки по частоте — более заметным образом. С другой стороны, все траектории ниже линии ВВ сходятся к устойчивой точке, расположенной либо в той же полосе, либо в некоторой другой полосе шириной расположенной справа или слева, смотря по тому, расположена ли траектория в верхней или в нижней полуплоскости. Линия ВВ имеет периодический характер (не приближается к захвату и не расходится), но является неустойчивой, так как малейшее возмущение приведет систему либо к захвату, либо к полной неустойчивости. Рис. 3.8 подтверждает интуитивное соображение, что для захвата частоты с положительным допплеровским сдвигом лучше заставить частоту управляемого генератора опережать опорную частоту на входе (что соответствует отрицательной ошибке по частоте), чтобы возрастающий допплеровский сдвиг уменьшал ошибку до тех пор, пока не произойдет захват.

3. При увеличении отношения линия ВВ, представляющая границу между устойчивостью и неустойчивостью в верхней полуплоскости, опускается и при (рис. 3.9) практически совпадает с асимптотами седловых точек АА. Таким образом, когда отношение достигает этого значения, все траектории, расположенные в нижней полуплоскости, приходят к захвату, а в верхней полуплоскости захват никогда не может быть достигнут, если он не совершается в пределах первоначальной полосы шириной

Рис. 3.8. Траектории на фазовой плоскости для петли второго порядка при линейном изменении частоты на входе

Рис. 3.9. Траектории на фазовой плоскости для петли второго порядка при линейном изменении частоты на входе

4. При еще больших значениях отношения (рис. 3.10) проявляется еще одно явление. Хотя большинство траекторий, начинающихся в нижней полуплоскости, приводят к захвату в некоторой полосе, некоторые траектории не приводят к нему. В частности, любая траектория, проходящая в пределах коридора, границами которого являются продолжения асимптот седловых точек АА, будет отброшена через ось в верхнюю полуплоскость. При возрастании отношения ширина этого коридора

в нижней полуплоскости увеличивается и большее количество траекторий становится неустойчивым (рис. 3.11). При приближении этого отношения к единице (рис. 3.12) коридор становится таким широким, что только траектории, начинающиеся в непосредственной близости от устойчивой особой точки, вообще приводят к захвату. Наконец, когда отношение особые точки исчезают и устойчивые точки отсутствуют. Таким образом, система, находившаяся в состоянии захвата до приложения возбуждения, немедленно будет вырвана из этого состояния.

Рис. 3.10. Траектории на фазовой плоскости для петли второго порядка при линейном изменении частоты на входе .

Рис. 3.11. Траектории на фазовой плоскости для петли второго порядка при линейном изменении частоты на входе .

Из этих соображений можно сделать заключение, что система второго порядка может при отсутствии шума следить за смещенным по частоте или модулированным сигналом с достоверностью только, если частотный наклон меньше половины произведения , и что она может следить за сигналом после захвата только до тех пор, пока это отношение не станет равным единице.

Выведем приближенное выражение для периодической предельной траектории между устойчивыми и расходящимися

траекториями при малых значениях отношения (линия ВВ на рис. 3.8). Если периодическая функция, то Умножив (3.25) на , интегрируя в пределах получим

Рис. 3.12. Траектории на фазовой плоскости для петли второго порядка при линейном изменении частоты на входе .

Интегрируя по частям и используя соотношение (3.25), имеем

При малом отношении R и, следовательно, при большом среднем значении на периодической траектории, которое обозначим можно приближенно заменить на , и тогда

или

Эту величину можно принять за приближенное выражение диапазона захвата. Если это условие выразить через , то оно примет вид

Для изображенного на рис. 3.8 случая, в котором . Из (3.29) следует, что . Заметим,

что это хорошее приближение. Приближение улучшается при уменьшении отношения но оно становится очень плохим, когда отношение возрастает до 1/2.

Выводы данного параграфа можно использовать также при рассмотрении слежения за сигналом постоянной частоты. В последнем параграфе было показано, что при большом значении разности между собственной частотой управляемого генератора и частотой принимаемого сигнала по сравнению с усилением системы время захвата может быть недопустимо большим.

Один из методов ускорения захвата состоит во введении лицейно изменяющегося напряжения в петлю управляемого генератора. Это вынуждает его частоту изменяться линейно по диапазону ожидаемых частот принимаемых сигналов со скоростью . В таком случае величина не будет содержать слагаемого, соответствующего ускорению, т. е. а величина будет иметь его, так что конечный результат остается таким же и выражение (3.24) характеризует поведение системы. Максимальная скорость, с которой можно изменять частоту управляемого генератора, чтобы во всех случаях осуществлялся захват, если ее выразить через шумовую полосу системы, получается из соотношения (3.27) и табл. 2.2:

Захват получается, наверное, только при скоростях, меньших половины этой величины.