4.2. Плотности вероятностей марковских процессов

Как было отмечено в предыдущем параграфе, плотность вероятности марковского процесса зависит от начального условия . Поэтому обозначим условную плотность вероятности . Величина представляет вероятность того, что значение процесса находится в бесконечно малом интервале если известно, что в момент, отделенный от данного интервалом времени t, его значение было . Марковский процесс был определен как процесс, для которого плотность вероятности перехода зависит только от значения процесса в данный момент. Однако его можно определить также при помощи плотности вероятности самого процесса, так как она дает полное статистическое описание процесса. Рассмотрим процесс

представленный на рис. 4.5, где произвольны; пусть значения процесса в три момента равны соответственно. Можно определить условную плотность вероятности у при заданных как . Однако так как вероятность перехода в момент зависит только от , то плотность вероятности в момент не зависит от значения в момент Следовательно,

и марковский процесс можно определить как процесс, плотность вероятности которого при условии произвольного числа предшествовавших значений, принимаемых в произвольно выбранные моменты времени, тождественно равна плотности вероятности, определенной при условии задания только последнего из выбранных значений.

Рис. 4.5. Непрерывный марковский процесс.

Из этого определения вытекает основное интегральное уравнение, определяющее условную плотность вероятности марковского процесса. Опустим пока относительные значения моментов времени. Тогда совместную плотность вероятности трех выборочных значений процесса, изображенного на рис. 4.5, можно обозначить По правилу умножения

Проинтегрировав обе части (4.9) по z и использовав (4.8), получим

Наконец, разделив на плотность вероятности и восстанавливая в аргументах функций значения моментов времени, получим

Уравнение (4.10) представляет основное соотношение для условной плотности вероятности марковского процесса. В литературе его называют по-разному: либо уравнением Смолуховского, либо уравнением Чепмена — Колмогорова.

Само по себе уравнение (4.10) не позволяет определить плотность вероятности. Однако из него и начального условия можно вывести дифференциальное уравнение частных производных для Начнем с рассмотрения интеграла

где представляет произвольную аналитическую функцию, на производные которой будут ниже наложены некоторые ограничения. Замена частной производной формально пределом отношения приращений дает

Так как при выводе уравнения (4.10) считалось произвольным, его можно сделать произвольно малым. Подставив (4.10) в последнее соотношение, получим

Изменив порядок интегрирования и разложив аналитическую функцию в ряд Тейлора около , получим

где

Обозначим теперь предел нормированного условного момента приращения у — z за время через

Тогда подстановка (4.13) в (4.12) дает

Предполагая, что функция и ее производные убывают достаточно быстро при , так что

можно проинтегрировать член суммы по частям раз; вычтя (4.14) из (4.11) и заменив переменную интегрирования в первом из этих выражений z на у, получим

Так как функция представляла произвольную аналитическую функцию, за исключением наложенных выше

ограничений на ее производные, то для обращения интеграла в нуль необходимо, чтобы равнялось нулю выражение в фигурных скобках. Отсюда находим

при начальном условии

Введение начального условия дает возможность упростить обозначения, принятые в формуле (4.14), и перейти обозначениям, примененным в (4.15). Определенная выражением (4.13) величина представляет предел при нормированного относительно приращения момента приращения процесса , если известно, что он начался с некоторого значения в момент . Таким образом, (4.13) можно переписать в виде

Как будет показано в следующем параграфе, для нашего примера (как и для всех процессов, описываемых обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка при воздействии белого нормального процесса) величины обращаются в нуль при большем двух, а это означает, что изменения в процессах происходят достаточно медленно для того, чтобы моменты более высоких порядков, чем второй, стремились к нулю быстрее, чем при . В таком случае (4.15) переходит в уравнение

Дифференциальное уравнение в частных производных (4.17), коэффициенты которого определены выражениями (4.16), называют уравнением Фоккера—Планка. Его решение определяет плотность вероятности для любого заданного момента времени, что, в свою очередь, полностью определяет процесс в вероятностном смысле.