3.5. Поведение системы третьего порядка

В § 3.3 были показаны ограничения, возникающие при слежении за сигналами изменяющейся частоты при помощи системы второго порядка. Рассмотрим теперь возможность смягчения некоторых из этих ограничений путем введения в систему второго интегратора. Оказывается, что процесс захвата для системы третьего порядка менее устойчив, чем для системы второго порядка, но при помощи второго интегратора можио расширить диапазон слежения за системой, которая в начальный момент была уже захвачена. Передаточная функция фильтра теперь имеет вид

и из (3.1) следует:

После подстановки это выражение приводится к виду

Нормируя и вводя обозначения получим

Обычный метод фазовой плоскости неприменим к дифференциальным уравнениям третьего порядка вследствие того, что в этом случае имеются три начальных условия, соответствующие трем переменным: фазе, частоте и скорости изменения частоты (в механических системах — смещению, скорости и ускорению). В принципе траектории, определяемые уравнением третьего порядка, можно было бы представить в трехмерном пространстве. Всякая же попытка спроектировать эти траектории для J множества начальных условий на плоскость привела бы к столь запутанной диаграмме, что из нее было бы невозможно сделать какие-либо общие заключения.

С другой стороны, если ограничиться одной совокупностью начальных условий, то можно получить проекцию траектории на плоскость . Особое значение представляет следующая совокупность начальных условий: Другими словами, система в начальный момент захвачена, так что ошибки по частоте и фазе равны нулю, когда опорная частота начинает линейно изменяться.

Легко изменить структуру аналоговоговычислительного устройства, чтобы учесть введение второго интегратора.

Рис. 3.19. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка

(см. скан)

На рис. 3.19 изображен ряд траекторий, спроектированных на плоскость . Во всех рассмотренных случаях так что . В гипотетическом трехмерном «фазовом пространстве» траектории начинаются в точке и заканчиваются на оси

На рис. 3.19, а показано поведение системы второго порядка при таких же начальных условиях. Окончательное, или установившееся, значение фазы равно как было показано в § 3.3. Введение второго интегратора приводит к уменьшению установившейся ошибки по фазе до нуля тем быстрее, чем больше При возрастании наибольшая ошибка по фазе также уменьшается, однако за счет уменьшения затухания системы, что приводит к увеличению среднеквадратичной ошибки по фазе (см. рис. 3.19, б - 3.19, ж). Наконец, при система становится неустойчивой.

Получаемое путем увеличения порядка системы улучшение иллюстрируется на рис. 3.20. Здесь как и прежде, но . В § 3.3 было показано, что при такой или большей быстроте линейного изменения частоты система не могла осуществлять слежение. Рис. 3.20, а подтверждает это обстоятельство. С другой стороны, даже при наименьшей степени влияния второго интегратора получается нулевая установившаяся ошибка по фазе. Наибольшее мгновенное значение фазового рассогласования уменьшается при увеличении коэффициента но при система вновь делается неустойчивой.

Аналогичные особенности видны на рис. 3.21-3.23, за исключением того обстоятельства, что при возрастании отношения для поддержания системы в состоянии захвата требуются все возрастающие значения коэффициента В конце концов при приближении отношения к 2 или при необходимо, чтобы было около 1/2. Но из рис. 3.19, ж - 3.23, з видно, что при этом значении система неустойчива. Диапазон значений коэффициента при которых система остается в состоянии захвата в зависимости от отношения представлен на рис. 3.24-3.26 при значениях соответственно. Заштрихована область допустимых значений коэффициента Видно, что при линейном изменении частоты введение системы третьего порядка позволило расширить Диапазон, при котором получается слежение, примерно

Рис. 3.20. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка

(см. скан)

Рис. 3.21. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка

(см. скан)

Рис. 3.22. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка

(см. скан)

Рис. 3.23. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка

(см. скан)

Рис. 3.24. Область состояния захвата системы третьегопорядка

Рис. 3.25. Область состояния захвата системы третьего порядка

Рис. 3.26. Область состояния захвата системы третьего порядка

вдвое больше по сравнению с системой второго порядка при и даже еще большее при меньших значениях

Можно теоретически объяснить колебательный характер изменения коэффициента b при его значениях около или более 1/2. Продифференцировав уравнение (3.41), получим

Обозначив дифференцирование в виде оператора D, это выражение можно переписать в виде

Если множитель рассматривать как входящии в коэффициенты трех последних слагаемых многочлена и применить правило Рута — Гурвица для многочленов, то получится условие устойчивости

Это показывает, что если на данной траектории фазовая ошибка достигает такого значения, что условие (3.45) не выполняется, то траектория станет неустойчивой. Очевидно, что при это условие не может быть выполнено ни при каком значении и система всегда неустойчива. Это обстоятельство проявляется и в линейной модели, получаемой при замене . Применение правила Рута — Гурвица к линейному уравнению приводит к критерию устойчивости .

При характер слежения системой третьего порядка представляется не очень отличающимся от характера слежения системой второго порядка. При когда система второго порядка не может быть захвачена, существует ограниченный диапазон значений при которых правильный выбор коэффициента b обеспечит захват системой третьего порядка. Если управляемый генератор в начальный момент не следит за опорным сигналом, то процесс захватывания системой третьего порядка представляется менее устойчивым, чем при системе второго порядка. Однако вследствие сложности траекторий в фазовом пространстве нельзя сделать обобщающих заключений.