6.5. Полосы частот и спектры

Существенное преимущество модуляции по углу по сравнению с модуляцией по амплитуде, в особенности при больших девиациях частоты и энергетических спектрах прямоугольной формы, достигается за счет сильного расширения полосы частот. Для того чтобы определить это преимущество более полно, необходимо представить энергетический спектр как функцию к. В § 6.2 было показано, что при амплитудной модуляции с двумя боковыми полосами частот получается энергетический спектр, представляющий спектр модулирующего процесса, смещенный по частоте, а при амплитудной модуляции с одной боковой полосой частот энергетический спектр представляет лишь верхнюю половину этого спектра. Можно непосредственно определить корреляционную функцию промодулированного по фазе сигнала если модулирующий случайный процесс нормальный с нулевым средним

Имеем

Если сделать обычное предположение, что начальный момент времени представляет случайную величину, равномерно распределенную в пределах одного периода несущей, то математическое ожидание второго слагаемого будет равно нулю. Тогда очевидно, что процесс стационарен в широком смысле и

Математическое ожидание в (6.45) представляет просто двумерную характеристическую функцию

при . Так как процесс стационарный нормальный процесс, то двумерная характеристическая

функция равна

Следовательно,

где

Энергетический спектр представляет тогда преобразование Фурье (6.48) и в общем случае не может быть представлен в явном виде.

Одним из способов обойти необходимость отыскания энергетического спектра состоит в определении среднеквадратичной ширины полосы модулирующего процесса

если приведенные интегралы существуют. Как было только что показано, необходимым и достаточным условием их существования является существование и непрерывность в нуле второй производной корреляционной функции. Аналогичным образом определяется среднеквадратичная ширина полосы модулирующего процесса около его центральной частоты:

где , так как — четная (и дифференцируемая) функция. Таким образом, из (6.49) и (6.50) следует:

так что для энергетического спектра вида (6.1)

т. е. среднеквадратичная полоса просто равна среднеквадратичной девиации фазы. Введя отношение сигнал/шум на выходе и среднеквадратичую ошибку по фазе, получим из (6.33)

Таким образом, среднеквадратичная полоса пропорциональна отношению сигнал/шум на выходе и, следовательно, возрастает в соответствии с улучшением качества.

При частотной модуляции применим такой же метод, но в этом случае

Таким образом, если определить а

то остаются в силе формулы (6.48) и (6.51) для процесса причем , так что из (6.49) следует:

Таким образом, из (6.51) (с заменой , на ) и (6.55) получим

Следовательно, при частотной модуляции среднеквадратичная ширина полосы частот равна просто среднеквадратичному коэффициенту девиации, равному отношению среднеквадратичной

квадратичной девиации частоты к среднеквадратичной ширине полосы модулирующего процесса.

Более точной мерой полосы, занимаемой системой модуляции по углу, является полоса частот, содержащая большую часть (например, 99%) энергии промодулированного сигнала. Для ее определения необходимо, конечно, вычислить энергетический спектр. Хотя обратное преобразование функции (6.48) в общем случае невыполнимо, можно разложить (6.48) в ряд Тейлора по степеням :

Для рассматриваемого процесса

Обозначая

получим

где

Из (6.59) имеем

Выполняя почленно в ряде (6.61) преобразование Фурье, получим с учетом (6.60)

где

где

и

Конечно, неизвестно, сколько членов ряда (6.64) необходимо учесть, чтобы охватить полную энергию сигнала за исключением лишь небольшой ее доли. Ответ на этот вопрос поразительно прост. Из формул (6.61) и (6.62) имеем

Таким образом, отбрасывая в разложении все члены после не учитываем точно часть полной энергии, равную

Заметим также, что так как первый член ряда (6.64) является дельта-функцией, соответствующей немодулированной несущей, то энергия от остатка несущей равна Очевидно, чем больше девиация к, тем меньшая доля энергии несущей остается.

Из (6.64) видно, что при многократной свертке функции ой получается функция, приближающаяся к гауссовой. Это совершенно аналогично выполнению многократной свертки плотности вероятности, в результате чего получается плотность вероятности суммы совокупности одинаково распределенных независимых случайных величин. В силу центральной предельной теоремы при конечной дисперсии распределение суммы случайных величин стремится к нормальному. Таким образом, если конечно, то многократная свертка ой сходится к гауссовой функции. В качестве примера на рис. 6.14 изображен прямоугольный спектр , нормированный таким образом, что и результаты двух первых операций свертки. На рис. 6.15 показан энергетический спектр (при полученный из (6.64) для различных значений .

Этот рисунок иллюстрирует последнее замечание относительно асимптотических свойств выражения (6.64) при очень малых и при очень больших замечание При очень малых значениях можно пренебречь всеми членами

ряда (6.64), за исключением двух первых, и энергетический спектр совпадает со спектром при амплитудной модуляции с двумя боковыми полосами частот.

Рис. 6.14. Прямоугольный энергетический спектр и результаты двух первых операций свертки.

В другом крайнем случае заметим, что коэффициенты представляют как раз члены распределения Пуассона и что при очень больших значениях доминируют члены, в которых j близко к а этим членам соответствуют спектры, имеющие вид гауссовой функции.

Рис. 6.15. Нормированный энергетический спектр синусоидального сигнала, промодулированного по фазе нормальным случайным процессом с прямоугольным энергетическим спектром.

Таким образом,

где согласно (6.52) и (6.56)

Таким образом, было показано как при помощи довольно простых выкладок можно в общем случае определить энергетический спектр промодулированного сигнала, если модулирующий процесс нормальный. Однако, следует помнить, что соотношения, содержащие среднеквадратичную полосу модулирующего процесса, имеют силу, только если эта величина, определенная формулой (6.49), ограничена. Это не имеет места для энергетического спектра вида (6.1) при k = 1. В этом случае описывается функцией, подобной плотности вероятности Коши. Хорошо известно, что этой плотности соответствует неограниченная дисперсия, и, следовательно, центральная предельная теорема неприменима. Тем не менее даже в этом случае остаются в силе формулы (6.48), (6.57), (6.63) и (6.64), и разложение в ряд энергетического спектра промодулированного процесса имеет вид