4.3. Плотность вероятности фазовой ошибки системы первого порядка в установившемся (стационарном) состоянии

Для того чтобы вывести дифференциальное уравнение в частных производных для плотности вероятности в системе первого порядка, необходимо определить величины в формуле (4.16) и подставить их в (4.15). Эти величины можно найти из дифференциального уравнения (4.3), если проинтегрировать обе его части в бесконечно малом интервале от до таким образом,

Условная плотность вероятности при заданной несомненно, нормальна, так как первое слагаемое в правой части детерминировано, а второе — представляет линейный функционал нормального шума. Используя то обстоятельство, что белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью находим, что первые два нормированных момента в формуле (4.16) равны

так как квадрат первого слагаемого в (4.18) имеет порядок , а второе слагаемое содержит среднее значение , равное нулю. Можно также показать, что

Действительно, условный момент при заданном равен

Но среднее произведения нормальных случайных величин с нулевым средним равно

где суммирование ведется по всем различным способам, по каким можно разделить переменных на пар

Таким образом, интеграл в каждом члене либо обращается в нуль, либо убывает быстрее, чем при для всех членов, кроме или зависимости от того, четное или нечетное). Но эти члены содержат величины соответственно и, следовательно, убывают быстрее, чем при Следовательно, все коэффициенты кроме первых двух, обращаются в нуль и плотность удовлетворяет уравнению Фоккера—Планка (4.17). Подставляя (4.19) в (4.17), получим

Как было показано в § 4.1, на самом Деле имеет значение при . Поэтому попытаемся решить уравнение (4.20) в области при соответствующих граничных условиях. Для того чтобы выполнить это, заметим прежде всего, что вследствие периодичности коэффициентов уравнения Фоккера — Планка по если представляет решение при начальном условии , то должно быть решением при начальном условии , где — произвольное целое число. Введем функцию

Так как каждый член этого ряда является решением уравнения (4.20), сумма бесконечного числа членов также является решением, так что она должна удовлетворять уравнению Фоккера — Планка

при начальном условии

Кроме того, должна быть периодической с периодом так как

Следовательно, можно решить уравнение (4.22) в интервале, равном точно одному периоду , при начальном условии

граничном условии

и условии нормирования

Хотя уравнение (4.22) линейно относительно W, полное решение для несколько усложнено вследствие нелинейности переменных коэффициентов. С другой стороны, наибольшее значение имеет выражение для стационарного распределения, соответствующего условию

Из качественного рассмотрения с помощью механического аналога видно, что стационарное решение, если оно вообще существует, возможно Только в пределе при (установившееся состояние). Предположим, что плотность вероятности в установившемся состоянии стационарна, и обозначим ее

Для того чтобы доказать существование такого решения, заменим в уравнении (4.22) на и положим левую часть равной нулю, превратив таким образом дифференциальное уравнение в частных производных в обыкновенное дифференциальное уравнение. Обозначив

и

получим

Проинтегрировав по получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого, как

легко видеть, равно

Для определения постоянных следует использовать условия (4.24) и (4.25). В пределе при получим

Из (4.32). следует:

а из (4.33) можно определить постоянную С.

В частном случае, когда чего должно быть , т. е. когда частота принимаемого сигнала определена заранее и собственная частота управляемого генератора настроена на частоту сигнала, так что задача состоит только в определении и слежении за фазой) из формулы (4.34) видно, что и

а выражение для принимает вид

Очень большое значение имеет параметр а. Из (4.28) имеем

Но представляет мощность принимаемого сигнала, а величина — полосу системы первого порядка, определенную для линеаризированной модели этой системы (см. табл. 2.2). Отсюда следует:

а это выражение равно отношению сигнал/шум в полосе системы. Заметим также, что на основанииформулы (2.54) это отношение равно обратной величине дисперсии ошибки по фазе, соответствующей линейной модели.

Рис. 4.6. Плотность вероятности фазовой ошибки для системы первого порядка в установившемся состоянии при

Соотношение представлено графически на рис. 4.6 для нескольких значений а. При больших отношениях сигнал/шум оно похоже на нормальное распределение и при приближении к нулю становится плоским. Представляет интерес асимптотическое

поведение выражения (4.35) при больших значениях а. Так как асимптотическое представление модифицированной бесселевой функции нулевого порядка имеет вид

имеем асимптотическое соотношение

Разложив в ряд Тейлора, получим

При больших значениях а функция быстро убывает при возрастании <р; следовательно, эта функция очень мала повсюду, кроме очень малых значений и члены высокого порядка в ряде, представляющем имеют весьма малое значение при умеренных значениях . Графическое изображение функции будет напоминать нормальное при больших значениях а, и в этом случае выводы, полученные на линейной модели, достаточно точны и равна обратной величине дисперсии ошибки по фазе.

Представляет также интерес интегральное распределение вероятности в установившемся состоянии

так как оно показывает долю времени, на протяжении которой абсолютное значение ошибки по фазе меньше заданного значения . Его можно вычислить при путем разложения в ряд Фурье:

Тогда

Этот ряд сходится так быстро, что значение можно получить с высокой точностью при использовании нескольких членов разложения.

Рис. 4.7. Интегральная функция распределения фазовой ошибки для системы первого порядка при .

Результаты показаны на рис. 4.7. Аналогичным образом можно найти дисперсию :

Этот ряд сходится еще быстрее, чем ряд в (4.38). Он представлен в зависимости от на рис. 4.8. Заметим, что по мере приближения отношения сигнал/шум к нулю дисперсия стремится к а эта величина является дисперсией случайной величины, распределенной равномерно на интервале .

Рис. 4.8. Дисперсия фазовой ошибки для системы первого порядка в установившемся состоянии

Изображена также дисперсия фазовой ошибки, определенная с помощью линейной модели [см. (2.54)] и равная

Видно, что линейная модель для системы первого порядка при и отсутствии модуляции сигнала дает удовлетворительную точность (не хуже 20%) при .

В общем случае при распределение определяется из (4.31), (4.33) и (4.34). Однако для вычисления соответствующих интегралов необходимо прибегать к помощи аналоговых или цифровых вычислительных устройств.

Рис. 4.9. Плотность вероятности фазовой ошибки для системы первого порядка в установившемся состоянии при

На рис. 4.9 представлен случай, когда

Постоянные и плотность вероятности были получены с помощью а налогового устройства для решения уравнения (4.30). Заметим, что при установившегося решения не существует, как было также показано в § 4.1 [см. (4.6)].