4.4. Среднее время до первого прохождения через заданное значение и частота перескоков

В предыдущем параграфе была рассмотрена задача случайных блужданий для ошибки по фазе системы первого порядка при отсутствии поглощающих границ. По самому существу в этой задаче нет поглощающих границ, в отличие от задачи о разорении игрока, в которой поглощающей границей является полная потеря им своего капитала, или задачи о цепи, в которой поглощающая граница соответствует сгоранию сопротивления. Однако можно искусственно ввести поглощающие границы для того, чтобы рассмотреть ситуацию, несколько отличную от рассмотренной прежде.

Так как рассматриваемым процессом является фазовая ошибка, основное стремление состоит в поддержании малой абсолютной величины для любых моментов времени, желательно ниже заданного значения . Важным статистическим параметром с этой точки зрения является среднее время до достижения фазовой ошибкой значения впервые, если, известно, что в начальный момент она была равна , где . С точки зрения случайного блуждания по действительной оси это означает, что в точках устанавливаются поглощающие границы. Блуждание начинается из точки и требуется определить средний промежуток времени до достижения той или другой из поглощающих границ. Отсюда понятна необходимость введения поглощающих границ, так как нужно искусственно закончить процесс, чтобы найти статистические характеристики времени первого прохождения.

В рамках механического аналога системы первого порядка границы можно представить как два лезвия, размещенные под углами по отношению к отрицательной оси у (рис. 4.10). Маятник располагается в начальный момент под углом по отношению к отрицательной оси у, когда и прилагаются случайные и детерминированные внешние силы. В первый же раз при достижении этим углом значений лезвие перерезает стержень и процесс заканчивается.

Эта так называемая задача о времени до первого прохождения в марковских процессах широко рассматривалась в литературе. Возможно определить не только первый

момент, но и все моменты, и даже распределение времени первого прохождения для марковского процесса, описываемое дифференциальным уравнением первого порядка с возмущающей функцией в виде белого нормального процесса. Однако трудности вычислительного характера делают отыскание решения весьма сложным во всех случаях, за исключением простейших.

Рис. 4.10. Механический аналог с поглощающими границами.

Со временем первого прохождения тесно связана частота перескоков. В механическом аналоге она представляет величину, обратную среднему времени выполнения маятником полного цикла в любом направлении. В системе фазовой автоподстройки она представляет частоту, с которой управляемый генератор опережает или отстает от принимаемого сигнала на один период. И в том, и в другом случае это соответствует подстановке значения в определение среднего времени. На графиках траекторий на фазовой плоскости, приведенных в гл. 3, она соответствует изменению состояния от одной полосы шириной к другой в результате воздействия случайного сигнала на входе. Она представляет весьма важный параметр при рассмотрении слежения, когда система фазовой автоподстройки используется для измерения допплеровского сдвига частоты принимаемого сигнала, который затем интегрируется для определения изменения дальности.

Ошибка на целый период приведет к существенной ошибке в конечном результате.

Здесь рассматривается только случай системы первого порядка, когда собственная частота управляемого генератора настроена на частоту принимаемого сигнала, так что равновесное значение фазовой ошибки равно . Этот случай является также хорошим приближением при изучении системы второго порядка при любом значении разности и при большом значении отношения сигнал/шум или малом усилении интегратора, как будет показано в § 4.6. В системе первого порядка при можно применить такой же метод рассмотрения, измеряя фазовую ошибку от равновесного значения, а не от нуля, но получаемые соотношения имеют вид интегралов, вычисляемых численными методами.

Пусть и система в начальный момент захвачена, так что . Пока фазовая ошибка системы или угол отклонения маятника остается в пределах плотность вероятности которую обозначим удовлетворяет уравнению Фоккера — Планка (4.20):

для всех значений при начальном условии

Обозначение плотности вероятности фазовой ошибки введено для того, чтобы ее можно было отличать от плотности вероятности для случая без поглощения. Как только впервые достигнет значения маятник немедленно перестанет работать, так что

Таким образом, в добавление к начальному условию имеются граничные условия

Решение уравнения (4.40) в интервале при граничных условиях дает Интеграл от этой плотности

в указанном интервале

определяет вероятность того, что фаза в момент t еще не достигла значения . Заметим, что вследствие (4.41) пределы интегрирования в (4.43) можно считать неограниченными, так что

В этом и состоит фундаментальное различие между определенной в § 4.3, так как

для всех значений t Другими словами, величина строго говоря, не является плотностью вероятности случайной величины. Для того чтобы превратить ее в плотность вероятности, необходимо нормировать ее при помощи величины вероятности того, что не превзошла значения впервые до истечения времени

Так как представляет вероятность того, что меньше в момент t и никогда не выбивалась из захвата в промежутке времени от 0 до t, она должна быть монотонно неубывающей функцией. Следовательно, плотность вероятности промежутка времени, необходимого, чтобы достигла впервые значения равна

а среднее время до первого достижения значения равно

Если невозрастающая функция приближается к нулю быстрее, чем то первое слагаемое в правой части выражения (4.44) равно нулю. Так и должно быть, если второе слагаемое отлично от нуля; это предположение будет сейчас

проверено. Из (4.43) среднее время равно

Если проинтегрировать обе части уравнения (4.40) по t в бесконечных пределах, то получим

где

Очевидно, и, так как по предположению в начальный момент равна нулю,

Отсюда имеем

с граничными условиями

что следует из (4.42). Решение уравнения (4.47) можно затем проинтегрировать по в пределах для нахождения среднего времени Т первого прохождения. Вычисляя неопределенный интеграл от обеих частей (4.47), получим

где представляет единичный скачок, постоянная, которую следует определить из граничных условий.

Решение дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

где

и

Используя граничные условия (4.48), получаем значения постоянных . Следовательно,

и интегрируя по в пределах получим выражение для среднего времени до первого прохождения

Область интегрирования представляет равнобедренный прямоугольный треугольник, изображенный на рис. 4.11. Этот интеграл можно представить в виде ряда, если разложить подынтегральные выражения в ряд Фурье:

Рис. 4.11. Область интегрирования.

Тогда

Это выражение нетрудно вычислить, так как последовательность бесселевых функций , а следовательно, и ряды быстро сходятся.

Самое важное искомое соотношение можно получить в явном виде. Это частота перескоков или, другими словами, величина, обратная среднему времени до перескока . Из (4.53) видно, что при

где

так что частота перескоков равна

Зависимость от а этого параметра, нормированного по отношению к , показана на рис. 4.12.

При больших отношениях сигнал/шум а:

и частота перескоков

Вторым параметром, имеющим такое же значение, является частота опережений или отставаний на половину периода . В механической модели этому соответствует достижение маятником положения неустойчивого равновесия и возвращения в положение устойчивого равновесия либо тем же путем, либо через целый оборот. Частота этого события равна удвоенной частоте перескоков. Чтобы доказать это, заметим, что среднее время, в течение которого маятник перейдет из положения равновесия и вернется обратно, равно , где представляет среднее время перехода от 0 до среднее время перехода от до 0 или Время определяется из (4.52) при и можно показать, что

Подынтегральное выражение такое же, как в выражении для , но область интегрирования является дополняющей прежнюю область до квадрата со стороной .

Рис. 4.12. Частота перехода системы первого порядка, отнесенная к ширине полосы системы .

Отсюда находим

и частота перехода на половину периода равна

Это заключение можно было, конечно, получить путем интуитивного рассуждения, основанного на том, что процесс марковский. После достижения маятником вершины его колебания он будет Двигаться в любом из двух возможных направлений равновероятно, независимо от направления, с которого он достиг этой точки. Следовательно, он будет проходить половину оборота и возвращаться в начальное положение покоя с любого из двух направлений вдвое чаще, чем проходить полные обороты, выполняя вращение по или против часовой стрелки.