5.5. Приведение к уравнению Винера — Хопфа

Хотя решение интегральных уравнений (5.54) и (5.55), вообще говоря, неизвестно, в частном случае, когда , что соответствует фильтрации нормального сигнала при наличии нормального шума, получается хорошо известное уравнение Винера — Хопфа. Далее, когда, шум белый и составляющими удвоенной частоты можно пренебречь, частный случай амплитудной модуляции можно привести к уравнению Винера — Хопфа; подобным же образом в случае фазовой модуляции можно получить приближенное решение после того, как введено линеаризирующее допущение.

При рассмотрении задачи фильтрации и уравнения (5.54) и (5.55) приводятся к виду

В данном случае условия (5.56) и (5.57) являются необходимыми и достаточными, так как и представляют нормальные процессы, нормальная плотность вероятности, унимодальная относительно Как показано в приложении D, это решение совпадает с байесовской оценкой. Из (5.56) и (5.57) получаем

Положив

определим как решение интегрального уравнения

Найдя затем свертку обеих частей (5.58) с , используя (5.59) и изменив порядок интегрирования, получим, предполагая, что все необходимые условия соблюдаются,

и, учитывая (5.57) и (5.60), получим

Наконец, если положить , то уравнение (5.60) принимает вид

т. е. представляет интегральное уравнение Винера — Хопфа в его обычной форме, решение которого для рациональных

энергетических спектров хорощо известно. Таким образом, из (5.62) и (5.63) следует, что оценкой и по критерию максимума апостериорной плотности вероятности является линейный функционал принимаемого сигнала Оператор (или импульсная переходная функция фильтра) получается как решение уравнения Винера — Хопфа. Параметр называется задержкой или запаздыванием фильтра, так как оценка, получаемая из уравнения (5.62), отстает от настоящего момента на б сек. Очевидно, что все эти выводы применимы и в случае белого шума, когда можно положить .

Если сравнить (5.52), относящееся к случаю амплитудной модуляции сигнала при наличии белого шума, с (5.51), относящимся к фильтрации немодулированного сигнала, то можно отметить лишь одно различие, состоящее в том, что у(а) в (5.51) заменена в (5.52) на .

Таким образом, при можно найти в последнем выражении как линейный функционал

где представляет решение уравнения (5.63) при замене на при

Но из (5.37) и (5.39) получаем, пренебрегая составляющими удвоенной частоты,

Для реализации этого демодулятора требуется перемножитель и сумматор и, кроме того, линейный фильтр (рис. 5.3). Как и в случае оптимальной фильтрации, представляют нормальные процессы, так что — нормальная плотность и, следовательно, унимодальна и уравнение (5.52) представляет необходимое и достаточное условие для оценки по критерию максимума апостериорной плотности вероятности, которая совпадает с байесовской оценкой (см. приложение D).

Необходимое условие для оптимальной демодуляции промодулированного по углу сигнала при наличии белого шума выражается уравнением (5.53), которое весьма схоже с уравнением фазовой автоподстройки частоты.

Рис. 5.3. Оптимальный демодулятор промодулированного по амплитуде сигнала при наличии белого шума.

Рассматривая петлю, изображенную на рис. 5.4, можно заметить, что сигнал на выходе фильтра имеет вид

где представляет импульсную переходную функцию линейного фильтра.

Рис. 5.4. Блок-схема фазовой автоподстройки.

Сравнение формул (5.65) и (5.53) сразу показывает, что если импульсная переходная функция фильтра равна

то подынтегральное выражение в (5.65) совпадает с подынтегральной функцией в (5.53). Однако даже при одинаковых

нижних пределах (при ) верхние пределы интегралов различны, так как реализуемый фильтр может обрабатывать только прошлые и настоящие значения процесса на входе. Таким образом, система фазовой автоподстройки, изображенная на рис. 5.4, и фильтр, соответствующий (5.66), не могут представить оптимальный демодулятор.

Все же, когда система находится в состоянии, близком к захвату, так что фазовая ошибка все время мала, можно осуществить фазовую автоподстройку в качестве хорошего приближения к оптимальному демодулятору (5.53) с нулевым запаздыванием. Из (5.37) и (5.40) имеем

где — процесс, модулирующий по углу (фазе), а — нормальный шум, который, в соответствии (5.53) будем считать белым. Подстановка (5.67) в (5.53) при дает

где представляет белый шум, спектральная плотность которого такая же, как спектральная плотность (см. § 2.7). Были отброшены составляющие удвоенной частоты. Если теперь предположить, что оценка близка к и что, следовательно, разность между ними мала с вероятностью, близкой к единице для любых значений а в интервале, можно воспользоваться приближением

Тогда, полагая

можно представить уравнение (5.68) приближенно в виде

Уравнение (5.71) совпадает с (5.51) при и при замене на Таким образом, из (5.62) и (5.63) получается оптимальный демодулятор без задержки

где — решение интегрального уравнения

Следовательно, оптимальный демодулятор при допущении линеаризации [см. (5.69)] является линейным функционалом . Остается решить задачу отыскания из полученного сигнала. Эту задачу можно решить с помощью системы фазовой автоподстройки. Если то же линеаризирующее предположение (5.69) применить к петле, изображенной на рис. 5.4, и соответствующему уравнению (5.65) и воспользоваться формулами (5.67) и (5.70), то получится линейное соотношение (см. § 2.8)

и линейная модель, изображенная на рис. 5.5. Так как (5.74) представляет линейное интегральное уравнение, то можно, выполнив преобразование Лапласа над обеими его частями, получить

где — передаточная функция линейного фильтра.

Решая (5.75) относительно , получим

где

представляет передаточную функцию линейной модели замкнутой петли при усилении, равном единице (см. § 2.4).

Рис. 5.5. Линейная модель.

Обратное преобразование (5.76) представляется сверткой

где

есть импульсная переходная функция замкнутой петли.

Таким образом, из сравнения (5.72) и (5.78) видно, что процесс на выходе системы фазовой автоподстройки частоты представляет оптимальную оценку процесса если является решением уравнения Винера — Хопфа (5.73). Передаточная функция фильтра находится тогда из , представляющей преобразование Лапласа от

В следующем параграфе будет показано, что импульсная переходная функция этого фильтра физически реализуема, если является решением уравнения (5.73).

Необходимо отметить, что полученная таким образом оценка процесса, модулирующего сигнал по фазе, является оценкой с нулевым запаздыванием.

Аналогичное устройство для оценки с положительным запаздыванием нельзя осуществить при помощи фазовой автоподстройки. Если в формуле (5.78) заменить на , пришлось бы произвести такую же замену в формуле (5.65). При этом подстановка (5.67) в (5.65) дает

Теперь уже нельзя получить соотношение (5.74), применив линеаризирующее приближенное представление синусоидальной функции, так как, хотя разность будет мала, если является точной оценкой , величина и не будет, вообще говоря, малой, в частности когда больше времени корреляции (т. е. когда такова, что, ). Таким образом, система фазовой автоподстройки частоты может представить приближенно устройство для получения оценки промодулированного по фазе процесса по критерию максимальной апостериорной плотности вероятности только при нулевой задержке.

Можно проверить, что при модуляции по углу плотность вероятности будет многомодальной, а не унимодальной, причем максимумы будут располагаться на расстояниях, кратных в обоих направлениях. Таким образом, полученные с помощью фазовой автоподстройки оценки могут давать ошибку, кратную рад. Это обстоятельство связано с установленным в гл. 4 фактом, что при малых отношениях сигнал/шум система стремится к перескокам, приводя таким образом к фазовым ошибкам на величину, кратную .