ГЛАВА 4. ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ ПРИ НАЛИЧИИ ШУМА

В этой главе будет рассмотрено воздействие на систему фазовой автоподстройки частоты белого нормального шума. Будет рассмотрено воздействие шума на нелинейную модель, приведенную в § 2.7 и повторно изображенную на рис. 4.1. Ей соответствует уравнение

Рассмотрим сперва случай синусоидальных сигналов на входе, частота которых постоянна, так что где — постоянная величина.

Рис. 4.1. Блок-схема системы фазовой автоподстройки с учетом шума

Содержание первых двух параграфов до некоторой степени отходит от рассмотрения системы фазовой автоподстройки. В них излагаются сведения из теории случайных процессов, необходимые для рассмотрения влияния нормального шума на нелинейную замкнутую систему автоматического регулирования.

4.1. Задача о случайных блужданиях и марковские процессы

Задача о случайных блужданиях или о разорении игрока является классической задачей теории вероятностей. Она обычно формулируется с применением принятой в играх терминологии следующим образом: игрок может с вероятностью выиграть и с вероятностью q проиграть d долларов. Он начинает игру, обладая капиталом в долларов, и продолжает игру до тех пор, пока он либо сорвет банк, выиграв весь капитал или проиграет весь свой капитал, оставшись без долларов. Полное вероятностное описание этого процесса состоит в установлении распределения вероятности выигрышей игрока после хода.

Рис. 4.2. Возбуждаемая нормальным шумом цепь RL.

Для игрока важны следующие статистические параметры: вероятность разорения и ожидаемая продолжительность игры. Эту задачу можно также рассматривать как случайное блуждание по действительной линии, делая дискретные шаги длиной d, начав в точке и закончив либо в точке 0, либо в точке

Многие физические процессы можно представить как случайные блуждания по действительной линии при непрерывном движении. В качестве первого примера рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 4.2. Пусть источником напряжения будет генератор стационарного широкополосного нормального шума с нулевым средним и дисперсией Допустим, что спектральная плотность шума постоянная рассматриваемой полосе частот, так что шум можно считать по существу белым. Тогда ток в цепи представляет также случайный процесс и связан возбуждающим напряжением дифференциальным уравнением

Случайный процесс можно рассматривать, как положение частицы, совершающей случайное блуждание

по действительной оси. В любой заданный момент скорость изменения ее положения определяется ее положением в рассматриваемый момент и внешней силой . Так как рассматривается стационарный, по существу белый нормальный процесс, значение в данный момент не зависит от предыдущих значений. Следовательно, можно непосредственно определить плотность вероятности скорости изменения при заданном значении в данный момент. Если значение задано, то оно не является случайным, и единственной случайной величиной, влияющей на является значение в данный момент.

Таким образом, при заданном значении величина является нормальной случайной величиной со средним значением (так как ) имеет нулевое среднее значение) и дисперсией , где представляет дисперсию и не зависит от времени, так как стационарный процесс. Из (4.2) следует также, что при производная не является функцией даже значения t в данный момент.

Аналогом разорения игрока при рассмотрении физической задачи этого рода является введение поглощающей границы в некоторой точке на действительной оси. В нашем примере предположим, что при достижении проходящим через сопротивление током значения выделяемое тепло сожжет угольное сопротивление и разомкнет цепь. Таким образом, можно отобразить мгновенное, значение тока на действительной оси, считать, что представляет поглощающую границу; тогда при достижении блуждающей точкой этой границы процесс заканчивается.

Принципиальное сходство между этим примером непрерывного движения и разорением игрока состоит в том, что и тот и другой процессы марковские. Процесс называется марковским, если распределение вероятностей перехода (или плотность вероятности) является функцией только значения процесса (или положения на действительной оси) в данный момент, а не всех его предыдущих значений. Марковский процесс называется однородным во времени, если вероятности переходов не зависят от времени. В задаче о разорении игрока (как и в цепи с нулевым сопротивлением) вероятности переходов не зависят даже от значения процесса в данный момент. Однако можно представить

себе игру, в которой шансы изменяются произвольным образом в соответствии с имеющимся в настоящий момент у игрока капиталом, так что бедный игрок будет вести благоприятную для него игру, а богатый игрок попадет в неблагоприятные условия игры. Такая игра приведет к дискретному процессу, аналогичному непрерывному процессу, описываемому электрической цепью с сопротивлением, причем и тот, и другой процесс будут однородными марковскими процессами.

Следует также заметить, что физические процессы, описываемые дифференциальным уравнением при возмущающей функции, имеющей характер белого нормального процесса, будут в общем случае марковскими, если уравнение первого порядка. Если видоизменить изображенную на рис. 4.2 цепь, включив в нее последовательно с другими элементами конденсатор, то уравнение (4.2) примет вид

и очевидно, что значение производной в момент t зависит от предыдущей истории процесса. В § 4.5 будет показано, как из процесса, описываемого обыкновенным дифференциальным уравнением порядка при воздействии белого нормального шума, можно вывести зависящих от него процессов, образующих -мерный векторный марковский процесс. До этого будут рассматриваться только простые непрерывные марковские процессы, описываемые дифференциальными уравнениями первого порядка.

Одним из таких уравнений, которое имеет особое значение при исследовании системы фазовой автоподстройки, является уравнение, описывающее поведение системы первого порядка при наличии шума и при входном сигнале постоянной частоты со радианов в секунду. Это уравнение получается из формулы (4.1) и имеет вид

Оно отличается от уравнения (4.2) только тем, что уравнение (4.2) линейно, нелинейно. Однако плотность вероятности производной при заданном значении нормальная, так как единственное слагаемое, имеющее

случайный характер, представляет нормальную величину . Проведя такое же рассуждение, как при рассмотрении выражения (4.2), можно показать, что условное среднее значение при заданном Ф равно

а условная дисперсия равна , где представляет дисперсию стационарного процесса

Для того чтобы лучше понять эту задачу, рассмотрим другой марковский процесс, который по существу представляет механический аналог системы первого порядка.

Рис. 4.3. Механический аналог петли первого порядка.

Представим себе, что изображенный на рис. 4.3 маятник состоит из невесомого шара, прикрепленного при помощи бесконечно тонкого невесомого стержня к неподвижной точке, и поместим это устройство на дно сосуда, заполненного жидкостью, которая подвергается случайному помешиванию. Маятник имеет возможность выполнить полный оборот вокруг точки закрепления. Пусть в начальный момент стержень образует угол с вертикальной осью. Пусть к шару будет приложена внешняя сила G в направлении отрицательной оси у; предположим, что жидкость в сосуде создает силу вязкого трения величины препятствующую движению. Предположим, кроме того, что шар снабжен

внутренним двигателем, создающим постоянную силу F, направленную по оси движения. Случайная тряска стола вызывает воздействие на шар силы, которую можно представить двумя стационарными «белыми» нормальными процессами с нулевыми средними: процессом в направлении оси у и процессом в направлении оси . Тогда сравнивая силы, действующие вдоль мгновенной оси движения, получим

Если разделить это уравнение на и ввести обозначения

и

то оказывается, что (4.5) совпадает с уравнением (4.3). Определенный здесь процесс представляет стационарный белый нормальный процесс, спектральная плотность которого не отличается от спектральной плотности процессов Это можно доказать при помощи того же рассуждения, как проведенное в § 2.7 для доказательства, что аддитивный шум в модели системы фазовой автоподстройки обладает этими свойствами. Таким образом, «безынерционный» маятник, изображенный на рис. 4.3, представляет точный механический аналог системы первого порядка.

Ясно, что при отсутствии случайных сил маятник приближается к положению равновесия

так как в этой точке скорость равна нулю. Так как система первого порядка, то перерегулирования не может быть. Если или , то положения равновесия не существует и маятник продолжает колебаться безгранично. Это можно видеть также на рис. 3.2, на котором изображены траектории системы первого порядка в отсутствие шума. При воздействии случайных сил движение шара примет характер кругового случайного блуждания.

До сих пор рассматривались различные марковские процессы и их физические и математические описания, причем математические описания имели вид дифференциального уравнения или распределения условной вероятности приращения или скорости изменения при заданном первоначальном положении. Однако для полного описания случайного процесса или движения необходимо определить распределение вероятности или плотность вероятности для любого шага процесса или для любого момента времени. Рассматривая задачу о системе фазовой автоподстройки частоты или ее механического аналога, обозначим плотность вероятности фазовой ошибки (или угла) в момент t после начала воздействия внешних сил. Эта величина, конечно, является функцией начального условия, а именно, ошибки по фазе в момент которую обозначим Может быть, что первоначальное положение точно неизвестно, но что дана его начальная плотность вероятности Это описание включает детерминированное начальное условие, и в этом случае начальная плотность вероятности принимает

где — дельта-функция. Заметим также, что функция как плотность вероятности случайной величины должна удовлетворять условию для всех значений

Для лучшего физического представления характера функции рассмотрим качественно ее поведение в случае маятника, изображенного на рис. 4.3. Для упрощения положим, что постоянная сила , что соответствует системе первого порядка при . Такая ситуация получается, когда частота принимаемого сигнала известна и собственная частота управляемого генератора делается равной этой частоте сигнала; следовательно, задача сводится к слежению за фазой. Предположим также пока, что маятник в начальный момент находится в положении равновесия, так что . С течением времени влияние случайных сил проявится в отклонении маятника от положения равновесия. Качественный характер плотности вероятности показан на рис. 4.4. По истечении достаточного промежутка времени случайные силы повернут

маятник более чем на половину оборота, так что он будет стремиться вернуться в положение равновесия после целого цикла вращения в любом из возможных направлений. Это соответствует тому, что опорный сигнал в системе фазовой автоподстройки отстает от опорного сигнала или опережает его на один период. Средний промежуток времени до достижения такого положения зависит от отношения сигнал/шум. Таким образом, по истечении достаточно большого промежутка времени плотность вероятности принимает вид многомодальной функции, причем каждая мода располагается около положения равновесия, а эти положения находятся на расстоянии рад друг от друга, причем центральная мода имеет наибольшее значение; а последовательные вторичные максимумы постепенно уменьшаются.

Рис. 4.4. Качественный характер изменения плотности вероятности фазовой ошибки для системы первого ряда

По истечении еще большего промежутка времени, превышающего в несколько раз среднее время между обращениями, центральная мода плотности вероятности уменьшится, моды, расположенные с обеих сторон от нее, достигнут почти той же величины и появятся еще моды значимой величины. Эта функция всегда будет симметричной, и центральная мода будет оставаться наибольшей, так как маятник может поворачиваться в любом из двух возможных направлений с одинаковой вероятностью.

Если сила или, что эквивалентно, маятник, очевидно, будет иметь большую тенденцию к повороту в сторону, соответствующую направлению силы. Следовательно, плотность вероятности не будет симметричной. Как в том, так и в другом случае значащим параметром является, по крайней мере в установившемся состоянии (т. е. при ), угол (или ошибка по фазе) по модулю так как число выполненных оборотов маятника не оказывает влияния на состояние системы в данный момент. Действительно, хотя полное статистическое описание системы дает двумерная функция ясно, что распределение установившегося значения по модулю и частота, или среднее время между полными оборотами, совместно дают более простое и почти полное представление. Эти параметры будут определены в § 4.3 и 4.4, но сперва необходимо вывести некоторые основные соотношения для плотности вероятности непрерывного марковского процесса, чему и будет посвящен следующий параграф. В результате будет выведено уравнение в частных производных для w решение которого позволит найти искомые количественные соотношения.