5.2. Оценка параметров синусоидального сигнала известной частоты при наличии белого шума

В качестве примера оценки параметров рассмотрим принимаемый сигнал

где представляет белый нормальный шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью .

Предположим, прежде всего, что частота известна и известно также, что точно равна нулю, а А является подлежащим оценке параметром, причем его априорная плотность вероятности предполагается нормальной с нулевым средним и дисперсией

Рис. 5.1. Устройство для оценки амплитуды синусоиды с известными фазой и частотой.

Тогда из (5.16) получаем необходимое условие, которому должна удовлетворять оценка по критерию максимума апостериорной плотности вероятности

Решение этого уравнения имеет вид

где

Устройство для получения оценки легко реализуемо, как показано на рис. 5.1, при помощи коррелятора. Уравнение (5.21) является необходимым и достаточным условием, поскольку, как можно легко проверить с помощью формулы (5.7), плотность вероятности унимодальна по отношению А.

Теперь рассмотрим случай синусоидального сигнала с известной амплитудой и частотой, но с неизвестной фазой.

Уравнение (5.16) дает необходимое условие, которому должна удовлетворять оценка по критерию максимума апостериорной плотности вероятности:

или

Вообще говоря, частота столь высока, что первым слагаемым в правой части формулы (5.22) вполне можно пренебречь.

Для дальнейшего необходимо задать априорное распределение фазы. Очевидно, что можно ограничить интервалом от до , так как при любом целом значении k. Если принять, что фаза распределена равномерно

то для очень больших значений со (5.22) приближенно равно

и надо найти решение в интервале (5.23). Это решение легко получается, так как (5.24) можно представить в виде

откуда следует:

Схема устройства для получения оценки показана на рис. 5.2. Уравнение (5.25) имеет в пределах интервала два решения, отличающихся на и соответствующих максимуму и минимуму на этом интервале.

Рис. 5.2. Устройство для оценки фазы синусоиды с известными амплитудой и частотой при равномерной априорной плотности вероятности распределения фазы.

Функцию получаемую из формулы (5.7), нужно вычислить в обеих точках, чтобы определить максимум.

Предположим теперь, что имеет нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией На первый взгляд это предположение противоречит требованию, чтобы лежала в интервале длиной но на самом деле, так как входит в аргумент синусоиды, она автоматически приводится к основному интервалу.

В этом случае, если пренебречь членами порядка формула (5.22) дает оценку

Необходимые условия для оценок (5.21), (5.25) и (5.26) были получены для случая аддитивного белого нормального шума. Аналогичные результаты можно получить

из формул (5.14) и (5.15) для случая коррелированного нормального шума. В гл. 10 будет рассмотрена задача оценки частоты синусоидального сигнала с неизвестной частотой при наличии белого шума.