Приложение В. ПОЛУЧЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ОЦЕНОК С ПОМОЩЬЮ ОРТОГОНАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

1. Оценка параметра

Хорошо известно что случайный процесс , корреляционная функция которого положительно определенная, можно представить в интервале в виде ряда к

где

и

Ортонормированные функции являются собственными функциями интегрального уравнения

а - соответствующими собственными значениями, более того, функции образуют полную систему ортонормированных функций.

В сформулированной в § 5.1 задаче задана реализация процесса и нужно оценить параметр . Итак,

где

Обозначая

имеем

Случайные величины называются наблюдаемыми, потому что они представляют функционалы от наблюдаемой реализации . Для какого-либо частного значения если интегрируема с квадратом на интервале , справедливо соотношение

так как функции образуют полную ортонормированную совокупность.

Теперь прежде всего оценим на основе первых К наблюдаемых величин, а затем устремим Условная (апостериорная) плотность вероятности при данном векторе равна

где

так как согласно (В. 10) и (В.4)

В силу того что логарифм является монотонно возрастающей функцией положительного аргумента, достаточно максимизировать функцию

где не зависит от

Необходимое условие, которому должна удовлетворять оценка по критерию максимума апостериорной плотности вероятности, имеет вид

Обозначим

и

Тогда (В.13) и (В.14) можно представить в виде

Теперь из (В.3), (В.11) и (В.15) следует:

Таким образом, в пределе при неограниченном увеличении числа наблюдений из (В.16) получаем

Умножив (В.17) на и используя (В.5) и (В.15) для суммирования по k, получим, поменяв местами суммирование и интегрирование,

Для стационарного шума заменяется на Тогда формулы (В.19) и (В.20) точно соответствуют (5.15) и (5.14).

2. Оценка процесса (демодуляция)

В данном случае рассматриваются два стационарных нормальных процесса с нулевым средним и с положительно определенными корреляционными функциями: шум который можно представить выражением и модулирующий

процесс который можно представить в виде

где

а и представляют собственные функции и собственные значения интегрального уравнения

Как и прежде, функции образуют полную ортонормированную совокупность и

Таким образом,

Введя аналогично (В.9) функцию векторного аргумента

будем рассуждать точно так же, как при оценке параметра, получая оценку на основе первых К наблюдений, но считая также, что - К-мерный процесс (т. е. его можно представить конечной суммой К слагаемых, соответствующих первым К слагаемым в (В.21)). Тогда

где

и

Таким образом,

где не зависит от .

Необходимые условия для того, чтобы оценки были оценками по критерию максимума апостериорной плотности вероятности, имеют, таким образом, следующий вид:

Но из (В.26) следует, если считать, что процесс К-мерный,

Полагая теперь , из (В.28) и (В.29) получим к

Хорошо известно (теорема Мерсера), что при положительно определенном ядре интегрального уравнения (В.23)

и ряд сходится абсолютно и равномерно в квадрате

Если теперь ввести функцию к

то из (В.30) и (В.31) получим

Тогда из (В.32) и (В.5), поменяв местами интегрирование и дифференцирование, находим

Выражения (В.33) и (В.34) не отличаются от (5.49) и (5.48).

Литература

1. Давенпорт В. Д., Рут В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и шума. Пер. с англ., под ред. Р. Л. Добрушина. Изд-во иностранной литературы, 1960.

2. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники, книга вторая. Изд-во «Советское радио», 1968.