§ 1.4. ПРИНЯТЫЙ РАДИОЛОКАЦИОННЫЙ СИГНАЛ

Входным сигналом для различных радиолокационных систем (принятым сигналом) является смесь (сумма) отраженного сигнала и собственных шумов приемника, пересчитанных на вход системы. В принятый сигнал следует включать также и различные помехи, неизбежные в реальных условиях использования радиолокационных систем.

Ранее указывалось, что во многих случаях отраженный радиолокационный сигнал подчиняется нормальному распределению вероятностей. Собственные шумы, как известно, также в большинстве случаев могут считаться нормальными и «белыми» (имеющими постоянную спектральную плотность в пределах полосы пропускания приемника); нормальными являются и многие виды мешающих сигналов, в том числе такие распространенные виды, как активные шумовые помехи и отражения от пассивной помехи в виде облака дипольных отражателей, а также отражения от земной и морской поверхности. В силу приведенных обстоятельств принятый радиолокационный сигнал часто является нормальным случайным процессом. Его математическое описание дается, как и для отраженного сигнала, многомерной плотностью вероятности вида (1.3.2).

В отличие от отраженного сигнала корреляционная функция принятого сигнала, однозначно определяющая закон распределения вероятностей, является суммой корреляционных функций всех составляющих сигнала. В дальнейшем при математическом описании принятого сигнала помимо многомерной платности вероятности, будет широко использоваться функционал плотности вероятности, который получается из -мерной плотности вероятности для значений сигнала в моменты в результате предельного перехода при Рассмотрим более подробно этот функционал и его свойства.

Предел показателя экспоненты в (1.3.2) легко вычисляется

где

Функционал плотности вероятностей при этом записывается так:

Уравнение (1.3.3), определяющее, элементы обратной корреляционной матрицы, можно переписать в виде

переходящем при в интегральное уравнение

где функция корреляции принятого сигнала, равная

Здесь спектральная (плотность собственных шумов приемного устройства.

Множитель в выражении (1.4.1), вообще говоря, является бесконечно большим. Однако при решении практических задач это обстоятельство является несущественным, так как при синтезе

измерительных радиолокационных систем мы пользуемся логарифмической производной функционала плотности вероятности, а при синтезе радиолокационных систем обнаружения отношением этих функционалов. Легко убедиться, что обе эти функции конечны.

Логарифмическая производная функционала по произвольному параметру К определяется как сумма логарифмической производной и производной показателя экспоненты в (1.4.1) по этому параметру, который физически может быть дальностью, скоростью или любой другой координатой цели.

Для имеем

Здесь алгебраическое дополнение элемента штрих означает дифференцирование по параметру .

В результате предельного перехода при получим

где функция опргделягтся уравнением (1.4.2).

Окончательно, для производной по параметру к логарифма функционала имеем

Формула (1.4.4) позволяет легко установить конечность отношения определителей корреляционных матриц для двух произвольных нормальных процессов. В интересующем нас частном случае, относящемся к задачам обнаружения, один из рассматриваемых процессов — произвольная помеха с функцией корреляции а второй — сумма полезного сигнала и помехи с функцией корреляции, которую можно записать в виде При этом нас интересует определитель

где матрица, обратная а

В пределе при получаем

Применяя к определителю формулу

которая следует из (1.4.4), где

причем для справедливо уравнение

Переходя к пределу при и имеем

где и определяется из уравнения

которое можно переписать в виде

Сопоставляя (1.4.9) и (1.4.11) и учитывая симметрию матрицы видим, что

а функция в соответствии с (1.4.10) и (1.4.11) определяется интегральным уравнением

Формулы (1.4.12) и (1.4.13) позволяют найти предел определителя матрицы вида (1.4.6). Таким образом, отношение функционалов плотности вероятности принятого сигнала при отсутствии и наличии полезного сигнала получается применением полученных формул.

Все выражения, связанные с функционалом плотности вероятностей, легко обобщаются на многомерный случай, когда для тех или иных решений о параметрах цели необходимо использовать сигналов, принимаемых по независимым каналам. Эти вопросы будут рассматриваться в гл. 10 и 12, посвященных многомерным измерениям.