§ 3.2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

До конца тридцатых и начала сороковых годов настоящего столетия в математической статистике существовали два независимых направления, связанных с оптимальными методами принятия решений на основании случайного эксперимента: теория оценок и теория проверки статистических гипотез. Эти направления были объединены в созданной в 40-х годах А. Вальдом [37, 38] общей теории статистических решений. В рамках

этой общей теории были введены некоторые новые понятия, использование которых оказалось весьма плодотворным, и был получен ряд новых общих результатов.

Под термином «статистические решения» обычно понимаются решения, принимаемые на основании наблюдения некоторой совокупности случайных величин или реализации случайного процесса. К статистическим решениям относятся, например, решения о наличии цели или о значениях ее координат, принимаемые в радиолокации на основании наблюдаемой реализации принятого сигнала. Теория статистических решений занимается исследованием, сравнением и отысканием наилучших способов принятия таких решений.

В этом параграфе мы приведем определения основных понятий и кратко перечислим общие результаты теории статистических решений. Излагаемый материал относится в равной степени к задачам радиолокационного обнаружения и измерения координат и будет использоваться также в главах, посвященных измерению.

Совокупность у наблюдаемых значений случайных величин в математической статистике обычно называется выборкой. Эта совокупность описывается многомерным (по числу величин, входящих в распределением вероятности. Для простоты будем считать, что существует многомерная плотность вероятности (у можно рассматривать как многомерный вектор). В дальнейшем нам, в основном, придется иметь дело с решениями, принимаемыми на основании наблюдения реализаций случайных процессов. Эти реализации, представляющие собой бесконечномерные выборки, могут быть описаны с помощью функционалов плотности вероятности (см. § 1.4). Чтобы получаемые результаты были справедливы и для дискретных выборок и для реализаций, будем обозначать многомерную плотность вероятности и функционал плотности одним символом Поскольку рассмотрение дискретного и непрерывного случаев проводится совершенно аналогично, такое обобщение не приведет ни к каким неправильным выводам.

В задачах статистического решения закон распределения обычно частично или полностью неизвестен.

Поэтому естественно рассматривать как условное распределен и зависящее от некоторой совокупности неизвестных параметров 5 и обозначать его через Параметр 5 также можно рассматривать как вектор в многомерном пространстве, которое в дальнейшем будем обозначать через

Принимаемое решение определяется наблюдаемой реализацией и тем правилом, в соответствии с которым оно принимается. Бели данное решение рассматривать как элемент некоторого множества возможных решений, то это правило можно рассматривать как функцию отображающую множество реализаций У на множество решений Функция называется решающей функцией.

Рассмотрим два простейших радиолокационных примера.

Пример 1. Пусть по величине искаженного шумами принятого сигнала требуется определить величину отражающей поверхности наблюдаемой цели. В данном случае пространство параметров распределения представляет собой числовую ось, на которой откладываются значения отражающей поверхности. Множество решений также представляет собой числовую ось. Отражающая поверхность цели может быть определена по формуле

где время наблюдения; принятый сигнал; С — коэффициент пропорциональности, зависящий от дальности до цели и параметров радиолокатора.

Выражение (3.2.1) и определяет собой решающую функцию.

Пример 2. Пусть на основании наблюдений принятого за время сигнала требуется принять решение о наличии цели, параметры которой заранее заданы. В этом случае существенным для принятия решения неизвестным параметром распределения вероятностей принятого сигнала также является отражающая поверхность цели. Если то правильным будет решение об отсутствии цели. Если то правильным

будет решение о наличии цели. Таким образом, множество решений состоит всего из двух точек. Множество решений этом случае также состоит из двух элементов: «цель есть» , «цели нет» Решение может приниматься на основании сравнения энергии сигнала

с некоторым порогом Если у таково, что то если у таково, что то

В большинстве случаев наблюдаемая реализация не определяет однозначно одну из возможных ситуаций . При этом возможны ошибки при принятии решения, приводящие отрицательным последствиям, которые желательно минимизировать соответствующим выбором решающей функции. Если эти последствия удается представить в количественной форме (в рублях, например), то можно ввести в рассмотрение функцию называемую функцией потерь или риска. При фиксированных функция равна величине потерь, связанных с принятием решения когда имеет место ситуация Поскольку является функцией наблюдаемой реализации у, величина при заданном является случайной. Решающее правило может быть охарактеризовано с помощью статистических характеристик случайной величины Обычно в качестве такой характеристики используется математическое ожидание

при заданном 5, называемое условным риском.

Применяя понятие условного риска, можно осуществить сравнение, а иногда и однозначный выбор одного из возможных решающих правил. Если для одного из правил условный риск при всех 5 меньше, чем для другого (или других), то естественно отдать предпочтение этому правилу.

В большинстве случаев правило, минимизирующее условный риск, получается различным при различных . В теории статистических решений разработано два

способа выбора наилучшего решающего правила в таких случаях.

Первый способ предполагает известным априорное распределение возможных ситуаций Для простоты мы будем считать, что для этого распределения существует плотность вероятности Используя априорное распределение, можно вычислить средний риск

Средний риск зависит уже только от принятого решающего правила и может быть использован для сравнения этих правил.

Решающее правило, для которого средний риск оказывается наименьшим, называется байесовым решением относительно рассматриваемого априорного распределения а соответствующий средний риск — байесовым риском. В теории доказывается существование байесового решения для произвольного априорного распределения и ограниченной неотрицательной функции потерь.

Во многих практических задачах априорное распределение неизвестно. Поэтому желательно найти способы определения оптимальных решающих функций, не зависящие от При этом естественно потребовать, чтобы эти способы обеспечивали наилучшие результаты в наихудшей ситуации.

Первый из таких способов тесно связан с байесовыми решениями. Введем наименее предпочтительное априорное распределение, для которого байесов риск максимален. Применение байесового решения, соответствующего наименее предпочтительному распределению, является до некоторой степени удовлетворительным, так как обеспечивает минимальный риск при (наименее благоприятном априорном распределении.

Другой способ состоит в использовании так называемых минимаксных решений. Минимаксное решающее правило определяется из условия минимума наибольшего значения условного риска:

Один из фундаментальных результатов теории решений состоит в том, что при весьма общих условиях минимаксное решение совпадает с байесовьим относительно наименее предпочтительного априорного распределения причем соответствующий этому решению условный риск постоянен для всех при которых Этот результат существенно облегчает нахождение минимаксных решений.

До сих пор мы говорили о детерминированных (неслучайных) решающих функциях. Можно представить себе и такие случаи, когда принимаемое решение определяется результатом случайного эксперимента, выбираемого в соответствии с наблюдаемой реализацией у. При этом реализация определяет закон распределения вероятностей описывающий используемый случайный эксперимент. Часто встречающимся видом такого эксперимента является бросание жребия. В отличие от детерминированных решающих правил, правила, использующие случайный эксперимент, называются рандомизированными. Доказано; что при конечном числе возможных ситуаций для всякого рандомизированного решающего правила существует эквивалентное детерминированное правило. Эквивалентность в данном случае означает равенство условных рисков. Для произвольных множеств ситуаций , при весьма общих условиях доказано существование детерминированного правила, для которого условный риск как угодно мало превышает условный риск для данного рандомизированного правила эквивалентность). Таким образом, если эффективность решающего правила характеризовать величинами условных рисков то с этой точки зрения использование рандомизированных правил не дает практически никакого выигрыша.

На практике. часто встречаются случаи, когда размеры наблюдаемой реализации заранее не фиксируются и определяются, исходя из требуемой достоверности принимаемых решений. А. Вальд [39] предложил проводить в таких случаях эксперимент по этапам и на каждом этапе принимать либо одно из возможных окончательных решений либо, если ни одно из этих решений не может быть принято с достаточной достоверностью, принимать решение о продолжении эксперимента, При таком подходе естественно при подсчете

потерь учитывать стоимость эксперимента и использовать в качестве функции потерь сумму стоимости эксперимента и потерь, связанных с ошибочными решениями. На этот случай распространяются все приведенные выше результаты теории решений.

Методы теории статистических решений могут использоваться в самых различных областях человеческой деятельности, связанных со статистической обработкой результатов наблюдений, и в том числе в радиолокации, где получающиеся в результате минимизации потерь решающие правила могут быть интерпретированы как оптимальные операции над принятым сигналом и представлены соответствующими оптимальными схемами приемных устройств.

Ниже будут изложены более частные результаты теории решений, нашедшие применение в задачах обнаружения радиолокационных сигналов.

Прежде чем перейти к изложению этих вопросов, полезно обратить внимание на один аспект теории решений, связанный (с ее практической применимостью и полезностью. Если функция потерь задана, то теория решений, в принципе, позволяет найти решающее правило, обеспечивающее минимум среднего риска или минимакс условного риска. В радиолокации такой подход позволяет устранить произвол в вопросах выбора способов обработки принятого сигнала и выработать эталон для оценки качества технически реализуемых способов обработки. Однако полученные таким образом решающие правила (способы обработки) являются оптимальными лишь при вполне определенной функции потерь, соответствие которой условиям рассматриваемой задачи является в подавляющем большинстве случаев весьма условным.

Для примера рассмотрим задачу обнаружения цели, приближающейся к району обороны. Как определить в этом случае потери, связанные с ложной тревогой и пропуском цели? Как оценить количественно последствия паники среди населения, вызванной ложной тревогой, и притупление бдительности у обслуживающего персонала системы обороны, наступающее после отбоя? Наконец, как измерить в подходящих единицах стоимости последствия человеческих жертв и разрушений, вызванных пропуском цели к объекту? Какой подход

байесов или минимаксный — должен использоваться в данной задаче? В какой мере мы имеем право ориентироваться на минимизацию средних потерь, позволяющую получить заведомый выигрыш при многократном использовании решающего правила, когда речь идет об обороне вполне определенного, может быть единственного в своем роде, объекта? В любой реальной задаче возникает множество таких вопросов, и поэтому функция потерь задается обычно весьма произвольно.

Если бы оказалось, что вид оптимального решающего правила совершенно изменяется даже при незначительном изменении функции потерь, а величина байесова или минимаксного риака — при незначительном изменении решающего правила, то оптимизация совершенно утратила бы свой смысл. Однако многочисленные результаты приложения теории решений, относящиеся к различным практическим задачам, убеждают в существовании скорее обратной закономерности. именно, оказывается, что при «разумных» функциях потерь, удовлетворяющих довольно общим условиям, получающиеся в результате оптимизации решающие функции очень близки, так же как и величины риска, соответствующие весьма различным решающим правилам. Достаточно общие результаты такого рода в теории решений, к сожалению, отсутствуют.

В теории оценок и теории фильтрации, являющихся крупными ветвями общей теории статистических решений, при некоторых ограничениях доказана независимость способа оценки от вида функции потерь, если последняя удовлетворяет определенным условиям симметрии (см. гл. 6).