§ 5.2. ОТНОШЕНИЕ ПРАВДОПОДОБИЯ ДЛЯ НЕКОГЕРЕНТНОГО СИГНАЛА

Характер оптимальной обработки некогерентного сигнала определяется отношением правдоподобия. Это отношение может быть, очевидно, найдено из отношения правдоподобия для когерентного сигнала путем усреднения по дополнительным фазовьгм сдвигам в каждом периоде. Если бы сигнал был когерентным и дополнительные сдвиги фаз отсутствовали, то отношение правдоподобия для случая обнаружения такого сигнала в шуме записывалось бы в виде (4.11.5):

где

определяется уравнением

отношение сигнал/шум за период.

При наличии в периоде дополнительного фазового сдвига заменяется на Усредняя по всем получаем

где значение огибающей на выходе системы внутрипериодной обработки (укорачивающего фильтра или УПЧ, если внутриимпульсная модуляция отсутствует)

Интегрирование в (5.2.3) произвести не удается без введения дополнительных ограничений на элементы матрицы В связи с этим мы сразу перейдем к рассмотрению частных случаев.

Предположим, что отношение сигнал/шум за время наблюдения мало по сравнению с единицей. При этом экспонента в (5.2.3), показатель которой с высокой вероятностью оказывается весьма малым, может быть заменена первыми двумя членами своего ряда Тейлора. С точностью до членов порядка получим

Оптимальная междупериодная обработка состоит в этом случае в суммировании квадратов огибающих сигналов, получающихся в различных периодах на выходе системы внутрипериодной обработки, с коэффициентами которые в крайних случаях быстрых и медленных флюктуаций сигнала не зависят от Обработка такого вида может быть осуществлена с помощью квадратичного детектора и накапливающего устройства (например, потенциалоскопа).

Такой же результат получается, как нетрудно видеть, при произвольном отношении сигнал/шум, если корреляция флюктуаций сигнала в соседних периодах отсутствует.

При этом отношение правдоподобия имеет вид

При больших отношениях сигнал/шум элементы матрицы имеют относительно величину порядка единицы. Если в принятом сигнале имеется полезный сигнал (как раз в этом случае желательно поточнее воспроизвести отношение правдоподобия на выходе приемника), то с высокой вероятностью коэффициенты при в (5.2.3) имеют величину порядка и подынтегральная функция в (5.2.3) быстро убывает по мере удаления от максимума, имеющего место при В связи с этим величина интеграла определяется главным образом поведением функции в ближайшей окрестности максимума, где к можно разложить в ряд Тейлора по В результате получаем

Коэффициент при экспоненте зависит от значительно слабее, чем экспонента, и его наличие при истолковании и воплощении оптимальных операций может не учитываться. В основном эти операции сводятся к образованию квадратичной фйрмы К образованию аналогичной формы сводились и оптимальные операции при когерентном сигнале, только там в нее входили непосредственно результаты внутрипериодной обработки, а не их модули. Как было показано при рассмотрении когерентного сигнала, форма такого вида может быть получена в результате пропускания образуемого сигнала через накапливающий фильтр, согласованный со спектром флюктуаций отраженного

сигнала (при быстрых флюктуациях) либо со временем наблюдения (три медленных флюктуациях), квадратичного детектирования и последующего накопления за время наблюдения (последнее только в случае быстрых флюктуаций). В рассматриваемом случае обработке подвергаются огибающие и кваратичное детектирование заменяется возведением в квадрат, которое при медленных флюктуациях, когда последующее накопление отсутствует, является обратимой операцией (см. гл. 3) и может быть отброшено. Таким образом, при медленных флюктуациях оптимальная междупериодная обработка для рассматриваемого случая сводится к линейному детектированию и накоплению. При быстрых флюктуациях это накопление должно осуществляться с помощью импульсного фильтра, согласованного со спектром флюктуаций, результат накопления должен возводиться в квадрат и, в свою очередь, накапливаться уже за все время наблюдения. В предельном случае быстрых флюктуаций, когда амплитуды соседних импульсов статистически независимы, накопление после линейного детектора исчезает и оптимальная обработка сводится, как уже отмечалось, к суммированию квадратов огибающих.

Реально в радиолокационных станциях, использующих некогерентный сигнал, междупериодная обработка заключается в детектировании и накоплении продетектированного сигнала за время наблюдения. Характеристики используемых детекторов, как уже отмечалось в гл. 2, близки к квадратичной при малых входных сигналах и к линейной при высоком уровне сигнала. Таким образом, в существующих радиолокаторах используется обработка, близкая к оптимальной в двух крайних случаях быстрых и медленных флюктуаций. В промежутке между этими случаями оптимальная обработка существенно отличается от используемой, будучи значительно более сложной. К сожалению, математические трудности не позволяют произвести достаточно строгое сравнение этих способов обработки, которое позволило бы окончательно решить вопрос о целесообразности перехода к оптимальному приему. Накопленный опыт сравнения различных способов обработки сигнала позволяет предположить, что в данном случае переход к оптимальной обработке не дает существенного

выигрыша. Эффективность обоих сравниваемых способов обеспечивается уменьшением влияния флюктуаций при накоплении независимых значений сигнала с выхода детектора и едва ли существенно меняется при некотором видоизменении способа накопления.

Что касается зависимости порогового отношения сигнал/шум от вида детекторной характеристики, то этому вопросу, как известно, на заре развития радиолокационной теории посвящалось немало теоретических и экспериментальных работ, в результате которых было установлено, что влияние этой характеристики является мало существенным. В дальнейшем при расчете характеристик обнаружения некогерентного сигнала будем считать детектор квадратичным, чтобы получить окончательные результаты в достаточно простой форме.

При исследовании различных систем обнаружения будем интересоваться лишь последетекторной обработкой, считая внутрипериодную обработку оптимальной. Учет отклонений от оптимальности может быть произведен в данном случае, как нетрудно видеть, с помощью тех же соотношений, что и при когерентном сигнале (см. § 4.4).