4.4.2. Случай медленных флкжтуаций. Зависимость порогового сигнала от ширины спектра флкжтуаций

Характеристическая функция для этого случая также может быть получена с помощью уравнения (4.4.6), причем при оптимальном накоплении сигнала Решением уравнения (4.4.6) является постоянная

подставляя которую в (4.2.6) и производя все необходимые вычисления, для вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения имеем

где отношение энергии сигнала к односторонней спектральной, плотности шума (в случае одиночной посылки эффективная длительность посылки, см. § 1.2).

Для медленно флюктуирующего сигнала использование оптимальной обработки наталкивается на трудности, связанные с созданием интеграторов за время наблюдения или узкополосных фильтров с полосой, примерно равной у. На практике очень часто получаемая полоса пропускания фильтра значительно превышает согласованную, что, конечно, сказывается на характеристиках обнаружения, которые также могут быть найдены, исходя из уравнения (4.4.6): При отсутствии сигнала от цели это уравнение, как и в случае быстрых флюктуаций, можно решить преобразованием Фурье. Получающееся в результате решения выражение для характеристической функции должно, очевидно, совпадать с (4.4.7), если в этой формуле положить равным нулю. Решение уравнения (4.4.6) при наличии сигнала от цели удается найти в виде суммы решения уравнения при отсутствии сигнала и некоторой функции параметра Я, не зависящей от Соответствующее выражение для характеристической функции при имеет вид

При распределение для при отсутствии сигнала от цели можно приближенно заменить нормальным. Тогда, если и уравнение характеристик обнаружения имеет вид

где

При очень больших удобное приближение для характеристик обнаружения можно получить, если считать амплитудно-частотную характеристику фильтра моугольной. Тогда

Если цель отсутствует то характеристической функции (4.4.20) соответствует хи-квадрат распределение с степенями свободы. Если цель есть, то закон распределения получается в виде свертки хи-квадрат распределения с степенями свободы и экспоненциального распределения

Подставляя эту свертку в выражение для вероятности правильного обнаружения и производя интегрирование по частям, получаем при приближенное уравнение характеристик обнаружения в виде

Эта формула сохраняет смысл и при т. е. в случае, когда полоса фильтра согласована со временем наблюдения. В этом случае (4.4.21) переходит в (4.4.17). При переходит в (4.4.19).

Полученные в п. 4.4.1 и 4.4.2 формулы позволяют исследовать зависимость порогового отношения сигнал/шум от вида опорного сигнала, полосы пропускания фильтра и ширины спектра флюктуаций отраженного сигнала. Здесь мы ограничимся рассмотрением последней из указанных зависимостей, предполагая, что сигнал подвергается в приемнике оптимальной обработке (при этом и аппроксимируя спектральную плотность флюктуаций отраженного сигнала -образной кривой. В этом случае при из (4.4.17) имеем

Последнее равенство справедливо при условия при интересных для практики значениях обычно выполняются). При пороговая величина определяется из (4.4.15)

Используя формулы (4.4.22), (4.4.23), можно построить график зависимости порогового значения отношения сигнал/шум от произведения при различных

Рис. 4.7. Зависимость порогового отношения сигнал/шум от ширины спектра флюктуаций сигнала.

Такая зависимость приведена на рис. При функция имеет минимум при являющийся следствием влияния - двух факторов, каждый из которых в отдельности приводит к уменьшению порогового отношения сишал/шум,

ослабляя одновременно влияние другого фактора. Этими факторами являются когерентность накапливаемого сигнала и уменьшение относительной величины флюктуаций накопленного сигнала при увеличении числа накапливаемых статистически независимых значений отраженного сигнала.

При построении графиков рис. 4.7 участок кривых, на котором условия вывода формул (4.4.22) и (4.4.23) не выполняются, получен интерполяцией. Точный расчет характеристик обнаружения на этом участке сопряжен с существенными математическими трудностями. В то же время ширина этого участка невелика: начиная с Л/СГЗ, для решения уравнений, определяющих вид оптимальной обработки и характеристики обнаружения, может быть использовано преобразование Фурье (ом. п. 4.3.4). Результаты, полученные для прямоугольной спектральной плотности могут быть использованы в качестве приближенных и при других аппроксимациях спектральной плотности.