§ 3.5. ДВУАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ РЕШЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА

В соответствии c общим принципом продолжения эксперимента, когда ни одно из окончательных решений не может быть принято с достаточной достоверностью, А. Вальд предложил следующую процедуру двуальтернативных решений. В каждый момент времени (на каждом этапе эксперимента при дискретных наблюдениях) отношение правдоподобия, составленное для всей наблюдаемой реализацией сравнивается с двумя порогами Если то принимается решение если принимается если испытания продолжаются. А. Вальдом была подробно разработана процедура принятия решения и вычислены соответствующие характеристики для дискретных независимых наблюдений При некоторых условиях эти результаты могут быть распространены на случай непрерывного времени. Ниже изложим результаты последовательного анализа применительно этому случаю.

Найдем прежде всего связь между вероятностями ошибок решения (принять вместо ) и р (принять вместо ) и порогами А и В. Область реализаций у, наблюдение которых заканчивается принятием определяется равенством

где момент первого выхода за пределы интервала

Интегрируя обе части этого равенства по всем у, для которых оно выполняется, имеем

откуда

Аналогично область принятия определена равенством

Интегрируя обе части равенства по всем получаем

и

Интересно отметить, что в случае использования последовательного анализа и не связаны между собой и могут задаваться независимо. Кроме этих характеристик, при использовании последовательного анализа важную роль играет продолжительность испытания. Наиболее доступной для определения статистической актер истиной продолжительности являющейся случайной, оказывается математическое ожидание Для расчета V введем и предположим, что

где от не зависит. Возьмем теперь интервал времени настолько большой, чтобы можно было утверждать практически достоверно, что Тогда в силу (3.5.3)

Функция в силу определения принимает одно из двух значений Второе слагаемое в (3.5.4) представляет собой среднее значение интеграла от случайной функции, один из пределов которого является случайным, причем вообще говоря, не независимы. Однако, если велико по сравнению с временем корреляции процесса можно считать

Подстановка (3.5.5) в (3.5.4) дает

При

где

Аналогично при

В этих формулах

Бели потери, связанные с продолжением эксперимента, прямо (пропорциональны его длительности, то, используя (3.5.7) и (3.5.8), (можно получить выражение среднего риска, зависящего от и минимизировать риск соответствующим выбором этих вероятностей.

А. Вальдом и Дж. Вольфовицем [41] было показано, что рассмотренное решающее правило обеспечивает минимум средней продолжительности эксперимента при заданных и тем самым была доказана оптимальность этого правила.

Вопросам применения последовательного анализа к задачам обнаружения сигналов посвящен ряд работ в нашей стране и за рубежом [42—47], однако на путр его практического использования еще имеются принципиальные трудности. Некоторые из них мы здесь рассмотрим.

Как уже отмечалось, продолжительность наблюдения при использовании последовательного анализа является случайной. Потери, связанные с продолжением эксперимента, обычно можно считать пропорциональными лишь на некотором конечном участке. Поэтому для детального выяснения преимуществ последовательного анализа необходимо знать закон распределения расчет которого для большинства практических

случаев представляет Непреодолимую на данной стадии развития теории задачу. Даже расчет среднего значения V удается провести лишь при весьма частных условиях (3.5.5), не выполняющихся для целого ряда практически важных случаев (обнаружение на интервале, медленно флюктуирующий сигнал и т. д.).

Конечно, закон распределения можно определить экспериментально, однако в некоторых задачах таким определением нельзя довольствоваться. Одной из наиболее важных среди этих задач является задача многоканального обнаружения, когда, прежде чем повернуть антенну на другое направление, необходимо принять решение о наличии цели в одном из каналов, расстроенных, например, по дальности, либо об отсутствии цели во всех каналах. Использование классической процедуры последовательного анализа с двумя постоянными порогами в каждом канале приводит в этом случае к существенным потерям во времени, так как переход на новое угловое направление возможен только после того, как в каждом канале произойдет переход через один из порогов.

Таким образом, полное время наблюдения определяется в данном случае величиной где времена наблюдения, соответствующие различным каналам. Очевидно, так может во много раз превышать В связи с этим в работе [47] было предложено использование переменных порогов А к В, однако расчет оптимальных функций затруднен отсутствием общего метода вычисления вероятности которая в этом случае должна быть известна для произвольно изменяющихся порогов.

Расчет оптимального закона, изменения проведен в прямым методом (по шагам) для случая двоичного накопления статистически независимых импульсных сигналов в приемном устройстве. Выигрыш в пороговом сигнале при использовании такой процедуры обнаружения вместо сравнения с порогом отношения правдоподобия, вычисленного за фиксированное время, составляет 3—4 дб при Эти результаты можно рассматривать лишь как сугубо предварительные, так как условия их получения сильно

отличаются от реальных. В целом эта задача, представляющая большой теоретический и практический интерес, еще ждет своего решения.