§ 3.4. СРАВНЕНИЕ «ОБНАРУЖЕНИЯ НА ИНТЕРВАЛЕ» С «ОБНАРУЖЕНИЕМ ПО ТОЧКАМ»

Как было показано в § 3.3 [см. выражение (3.3.7)], если параметры цели неизвестны и могут принимать любые значения в некоторой области то отношение правдоподобия получается усреднением отношений правдоподобия, вычисленных для различных точек области 51, по всей области с учетом априорного распределения Обычно удается сравнительно легко построить многоканальную схему, в каждом канале которой образуется напряжение, пропорциональное логарифму отношения правдоподобия где совокупность параметров цели (дальность, скорость, угол), на которую данный канал настроен.

Чтобы получить усредненное отношение правдоподобия, нужно пропустить выходное напряжение каждого канала через устройство с экспоненциальной характеристикой и просуммировать с весом Осуществление этих операций связано с известными техническими трудностями и на практике обычно предпочитают сравнивать с порогом в каждом канале, что эквивалентно сравнению с порогом Такой способ принятия решения значительно проще, чем связанный с усреднением по и вместе с тем позволяет одновременно с обнаружением оценить приближенно параметры обнаруженной цели.

В связи с этим представляет интерес вопрос о сравнении оптимальной процедуры «обнаружения на

интервале» со способом «обнаружения по точкам». Этот вопрос уже рассматривался для частного случая экспоненциального распределения логарифма отношения правдоподобия в [40], где доказана эквивалентность этих способов при малых Ниже приводится весьма нестрогое обоснование этого результата для более общего случая.

Используем следующие идеализации. Будем считать, что априори возможны только значений параметров причем все эти значения равновероятны. Предположим также, что эти значения разнесены друг от друга достаточно далеко, так что соответствующие отношения правдоподобия можно считать статистически независимыми, и что для всех закон распределения одинаков.

При этих условиях задача формулируется следующим образом: имеется сумма независимых случайных величин причем либо все описываются законом распределения либо из них подчиняется закону а одна — закону Законы распределения связаны соотношением (3.3.11): Требуется установить связь между вероятностями превышения порога суммой и превышения соответствующего порога хотя бы одним из слагаемых в первом и во втором из указанных выше случаев.

Рассмотрим сначала зависимость для случая, когда с порогом сравнивается сумма Поскольку представляет собой усредненное отношение правдоподобия, для законов распределения этой величины при наличии и отсутствии цели справедливо соотношение (3.3.11), а зависимость может быть рассчитана по формуле (3.3.13). Соответствующую величину порога мы обозначим через

Выразим теперь через считая что соответствует достаточно малым Вероятность того, что при отсутствии цели можно записать в виде

где свертка распределений Изменяя порядок интегрирования и учитывая, что

получаем

Преобразуя обе части этого уравнения то Фурье, можно найти уравнение для

из которого нетрудно усмотреть, что

Вероятность определяется из (3.4.3) обратным преобразованием Фурье. Известно, что при больших аргументах, соответствующих интересующим нас малым поведение функции определяется поведением ее спектра при малых .

При этом, раскладывая в ряд множитель при в (3.4.3) по степеням и учитывая, что после обратного преобразования получаем

Разложение (3.4.4) следует рассматривать как асимптотическую оценку справедливую при определенных условиях для достаточно больших с. Необходимым условием применимости этой оценки является равенство

При

можно ограничиться в (3.4.4) первым членом и определить величину порога с, соответствующую заданной вероятности Учитывая наличие множителя перед суммой в выражении для и подставляя

в (3.3.13), получаем

В случае обнаружения по точкам, учитывая независимость значений в отдельных точках, при имеем

С учетом (3.4.7) выражение (3.4.8) можно записать в виде

совпадающем с (3.4.6). Таким образом, при наложенных ограничениях рассмотренные способы обнаружения дели являются приближенно эквивалентными. Этот результат оправдывает используемые на практике способы построения систем обнаружения в виде совокупности отдельных каналов, настроенных на различные значения параметров цели и заполняющих с достаточной плотностью априорный интервал изменения этих параметров. Приближенная эквивалентность «обнаружения на интервале» и «обнаружения по точкам» позволяет при теоретическом рассмотрении ряда задач обнаружения ограничиться синтезом оптимальных систем обнаружения в точке, используя для расчета характеристик

«обнаружения на интервале» формулу (3.4.6). При этом необходимо иметь в виду условие (3.4.5), при котором указанная эквивалентность имеет место.

В дальнейшем нам часто придется сталкиваться со случаем, когда величина, связанная с логарифмом отношения правдоподобия линейным соотношением, распределена по закону хи-квадрат с степенями свободы. При этом зависимость может быть записана в виде

где коэффициенты пропорциональности, зависящие от отношения сигнал/шум или сигнал/помеха. Плотность распределения получается из (3.4.10) дифференцированием по с. Для отношения имеем

откуда видно, что рассматриваемое отношение стремится к бесконечности при стремлении с к бесконечности и при любом можно взять настолько малым, чтобы условие (3.4.5) выполнялось. Рассмотрение конкретных задач показывает, что для выполнения (3.4.5) достаточно, чтобы общая вероятность ложной тревога для каналов была в 5—10 раз меньше вероятности пропуска цели. Так, в случае соответствующем обнаружению медленно флюктуирующего сигнала (см. гл. 4) в шумах при отношении сишал/шум имеем

Задаваемые в качестве допустимых вероятности пропуска обычно не меньше в то время как вероятность ложной тревоги обычно на несколько порядков меньше, так что в реальных задачах обнаружения условие (3.4.5) (выполняется,