4.3.4. Оптимальная обработка при произвольном ...

Ранее были проанализированы случаи быстрых и медленных флюктуаций отраженного сигнала (больших

и малых значений По мере изменения оптимальные операции должны, очевидно, видоизменяться от одного из рассмотренных крайних случаев другому. Чтобы проследить это изменение и уточнить условия применимости использованных в предшествующих двух пунктах приближений, необходимо решить уравнение (4 2.5) при произвольном хотя бы для некоторых частных случаев. В принципе, такое решение может быть получено для произвольной дробно рациональной спектральной плотности флюктуаций [60]. При этом решение интегрального уравнения сводится к нахождению функции Грина линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при определенных граничных условиях. Никаких принципиальных трудностей эта задача не представляет, однако для спектральных плотностей высокого порядка оказывается весьма громоздкой. Поэтому мы для простоты ограничимся рассмотрением спектральной плотности вида

соответствующей экспоненциальной функции корреляции флюктуаций.

Подставляя в (4.3.5) выражение для через и применяя к обеим частям равенства оператор

получаем

Учитывая, что

из (4.3.15) находим

Решение дифференциального уравнения (4.3.16) зависит от двух постоянных, определяемых граничными условиями для при Чтобы найти применим к уравнению (4.3.5) оператор

а затем положим . В силу того, что

где

получаем первое граничное условие

Аналогично при используя оператор

находим второе граничное условие

Такие же преобразования используются для получения дифференциального уравстерия и граничных условий в

случае спектральных плотностей более высокого порядка. При этом соответственно повышается порядок используемых при выводе дифференциальных операторов.

Решение уравнения (4.3.16) при граничных условиях (4.3.17), (4.3.18) записывается в виде

где

В принципе, оптимальная обработка сигнала, определяемая формулами (4.3.19) и (4.3.4), может быть реализована в схеме, приведенной на рис. 4.1. Фильтрация в этом случае, как и в ранее рассмотренных, может осуществляться на промежуточной частоте. Смодулированный сигнал промежуточной частоты при этом должен пропускаться через фильтр с импульсной реакцией и подаваться на фазовый детектор вместе с сигналом со входа фильтра. Выходное напряжение фазового детектора должно интегрироваться за время наблюдения Фильтр оптимальной системы обработки сигнала имеет, как видно из (4.3.19), изменяющиеся во времени параметры. В связи с этим при его техническом решении могут возникнуть затруднения, значительно большие, чем при реализации фильтра, рассчитанного на быстрые флюктуации. Поэтому существенный интерес представляет выявление условий, при которых оптимальная обработка, определяемая формулой (4.3.19), близка (по виду или по эффективности) к одному из рассмотренных ранее крайних случаев. Здесь мы ограничимся сравнением по виду, оставив сравнение по эффективности до следующего параграфа, посвященного исследованию характеристик обнаружения,

Первое слагаемое в (4.3.19) совпадает с при быстрых флкжтуациях. Чтобы выяснить различие оптимальной обработки при рассматриваемом значении и обработки при быстрых флкжтуациях, необходимо оценить порядок величин остальных слагаемых.

Третье слагаемое убывает с ростом при любых не медленнее, чем Это убывание происходит тем быстрее, чем больше отношение сигнал/шум но даже при этим слагаемым можно пренебрегать, начиная с

Второе слагаемое в (4.3.19) слабо зависит от при близких к концам интервала Однако по мере удаления от концов этот член также убывает, причем тем быстрее, чем больше Пренебрежение этим слагаемым означает, что мы допускаем неоптимальность обработки сигнала на некоторой частй интервала наблюдения. Если допустить, что эта часть составляет 20% от интервала наблюдения, то при можно пренебрегать рассматриваемым слагаемым в (4.3.19), начиная с а при начиная с

При малых функция мало изменяется на интервале наблюдения и может заменяться постоянной при значениях не превышающих по порядку величины

Сформулированные условия, при соблюдении которых близки к оптимальным полученные выше способы обработки быстро и медленно флюктуирующих сигналов, могут быть значительно ослаблены, если сравнивать рассматриваемые способы обработки сигнала по эффективности. Такое сравнение будет проведено в следующем параграфе.