§ 3.9. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОИСКА ЦЕЛИ

Перейдем теперь к рассмотрению вопросов поиска цели радиолокатором, работающим по данным целеуказания. Изложение этих вопросов проведем, частично базируясь на результатах, полученных И. Н. Кузнецовым.

Пусть в момент выдается целеуказание о наличии и о положении цели. Поскольку целеуказание о положении цели выдается с ошибкой, для захвата цели по углу, дальности или скорости в большинстве случаев приходится производить поиск в интервале целеуказания, величина которого определяется законом распределения ошибок. Этот закон распределения представляет собой априорное распределение положений цели для задачи поиска.

Введем функцию характеризующую потери, связанные с запаздыванием захвата на сек. Запаздывание является, вообще говоря, случайной величиной и описывается некоторым законом распределения зависящим от координат цели 5 и способа поиска. Каждый способ поиска может быть охарактеризован величиной условного риска при различных значениях координат цели или величиной среднего риска, определяемого выражением

Минимизируя средний риск по всем возможным способам поиска, удовлетворяющим определенным условиям, можно, в принципе, найти оптимальный способ поиска, соответствующий рассматриваемой функции потерь и заданным условиям. Необходимость задания дополнительных условий совершенно очевидна, так как равенство (3.9.1) не учитывает само по себе возможностей ложного захвата. Вид этих условий может быть весьма различен. Как и в случае обзора, можно задавать допустимую среднюю частоту ложных тревог либо вероятность хотя бы одной ложной тревоги с момента начала поиска до захвата цели. В тех случаях, когда ложный захват приводит только к потерям во времени (в течение некоторого времени, пока не произойдет сброс, сопровождается ложная цель), дополнительные

условия могут быть сформулированы в виде требований на продолжительность уверенной работы (без сбросов) после захвата цели. Может задаваться, например, среднее время работы по сигналу либо вероятность работы по сигналу в течение заданного времени.

Разобьем осматриваемый сектор на элементарные ячейки, размер которых определяется разрешающей способностью радиолокатора по соответствующим координатам, и пронумеруем ячейки в порядке просмотра. Будем считать, что поиск производится скачками из ячейки в ячейку, причем продолжительностью скачка будем пренебрегать. Предположим, кроме того, что сигнал от цели принимается только в то время, кюода система поиска находится в той же ячейке, что и цель. Модель поиска, получаемая результате этих упрощений, верно отражает основные черты рассматриваемой задачи и в то же время позволяет избежать чрезмерных усложнений, связанных с учетом формы диаграммы направленности антенны, формы строба и т. п. Для этой модели формула (3.9.1) может быть переписана в виде

где априорная вероятность наличия цели в ячейке; вероятность обнаружения цели, находящейся в ячейке, в интервале времени

Запаздывание представляет собой сумму времен задержки в ячейках, просмотр которых предшествовал обнаружению. Если величины (являющиеся, вообще говоря, случайными, например, при использовании последовательного анализа) можно считать статистически независимыми, то характеристическая функция получается перемножением характеристических функций и усреднением произведения по числу ячеек, которое из-за возможных пропусков цели также случайно.

Для рассматриваемой модели поиска оптимизация может заключаться в выборе порядка просмотра ячеек и характеристик решающих правил (времени задержки, величины порогов и т. д.), используемых при принятии

решений о наличии цели в каждой ячейке. Чтобы упростить решение, будем (предполагать эти решающие правила одинаковыми. Анализ более общего случая требует очень громоздких вычислений. Как показало рассмотрение некоторых частных задач, выигрыш в пороговом сигнале по сравнению со случаем равноправных ячеек составляет 15—20%.

Выбор параметров системы захвата (времени задержки в ячейке, вероятности пропуска при заданной частоте ложных тревог), минимизирующих средний риск, требует задания конкретного вида характеристики обнаружения в ячейке. Поэтому пока отложим рассмотрение этой задачи до последующих глав и ограничимся здесь выбором порядка просмотра ячеек. Функцию потерь будем считать линейной функцией времени. При этом средний риск пропорционален среднему времени поиска к минимизации которого и будем стремиться.

Начнем с наиболее простого случая циклического поиска, при котором весь априорный интервал координат цели просматривается определенной заранее, выбранной последовательности. Такой способ поиска и используется в подавляющем большинстве случаев на практике. При условии, что цель, находящаяся в (1-й ячейке, была пропущена в I циклах и обнаружена в цикле, среднее время поиска определяется формулой

где среднее время задержки в ячейке с целью (с сигналом), когда цель обнаруживается; — то же среднее время, когда цель пропускается; среднее время задержки в ячейке, в которой цель отсутствует; число ячеек в цикле.

Вероятность обнаружения цели в цикле равна вероятность пропуска), поэтому в результате усреднения (3.9.3) по I получаем

откуда

Следует подчеркнуть, что вычислено при условии, что цель (находится в одной из просматриваемых ячеек и что ложные захваты за время поиска отсутствуют. Если априорное распределение имеет конечную ширину, то выполнение первого условия обеспечивается просмотром всех ячеек, для которых . В противном случае представляет собой условное математическое ожидание, а следует рассматривать как условное распределение. Выбор числа просматриваемых ячеек в этом случае осуществляется, исходя из допустимой вероятности непопадания цели ни в одну из осматриваемых ячеек. Эта вероятность может выбираться в несколько раз меньше допустимой вероятности невыполнения тактической задачи (например, непоражения цели).

Выполнение второго условия обеспечивается заданием достаточно малой вероятности хотя бы одного ложного срабатывания за время поиска. В системах с автосопровождением, в которых ложный захват приводит лишь к потерям во времени, это условие заменяется требованием достаточно продолжительного сопровождения захваченной цели.

От порядка просмотра ячеек в формуле (3.9.5) зависит лишь одно слагаемое

Нетрудно убедиться, что эта сумма имеет минимальную величину, если просмотр ячеек производится в порядке убывания априорной вероятности. Для этого достаточно переставить две ячейки и рассмотреть вызванное этой перестановкой изменение

Из (3.9.7) очевидно, что если ячейки расположены в порядке убывания при то всякая перестановка приводит к увеличению среднего времени поиска.

На практике оптимальный порядок просмотра в большинстве случаев не используется. Исключением является, пожалуй, лишь случай спирального поиска по углам. Обычно же поиск производится, начиная с края априорного интервала, в то время как с наибольшей вероятностью цель находится в центре интервала. Для оценки связанного с этим увеличения времени поиска рассмотрим частный случай нормального априорного распределения. Этот случай встречается очень часто, так как ошибки целеуказания обычно определяются целым рядом статистически независимых факторов и описывающий их закон распределения близок к нормальному. Считая дисперсию ошибки большой по сравнению с размерами элементарной ячейки и заменяя в связи с этим суммы интегралами, для относительного увеличения среднего времени поиска по сравнению с оптимальным случаем получаем при

где - функция, обратная интегралу вероятности, а вероятность непопадания цели в интервал поиска.

Характер зависимости ясен из табл. 3.1. Как видно из таблицы, отказ от оптимального порядка просмотра может при малых привести к многократному проигрышу во времени тем большему, чем меньше

Таблица 3.1 (см. скан)

Циклический поиск с постоянным числом элементов в цикле является, очевидно, не всегда (наилучшим. В самом деле, при неравномерном априорном распределении и отличной от нуля вероятности пропуска могут представиться случаи, когда после просмотра

некоторого числа ячеек, наличие цели в которых весьма вероятно, лучше повторить этот просмотр, чем перейти к просмотру ячеек, в которых цель с большой вероятностью отсутствует. Таким образом мы приходим к циклическому поиску с переменным числом ячеек в цикле. Найдем среднее время поиска для этого случая, предполагая, что каждый последующий цикл содержит все ячейки предыдущего цикла.

Пусть цель находится в ячейке, которая просматривается, начиная с 6-го цикла. Тогда аналогично (3.9.3) получаем

где число ячеек, просматриваемых впервые в цикле.

В дальнейшем через будет обозначаться не только число, но и вся совокупность ячеек, впервые просматриваемых в цикле. Правило, в соответствии с которым каждая ячейка относится к той или иной совокупности будем называть распределением ячеек между циклами. Усредняя (3.9.8) по имеем

зависит от Если ячейка впервые просматривается в цикле то В результате усреднения по после некоторых преобразований получаем

где вероятность того, что

Минимизируя можно (в принципе, по крайней мере) найти оптимальное распределение ячеек по циклам и оптимальный порядок просмотра ячеек. Сравнивая (3.9.5) и (3.9.10), не трудно видеть, что оптимальный порядок просмотра одинаков для этих двух случаев: ячейки должны просматриваться в порядке убывания априорной вероятности.

Выбор распределения ячеек по циклам представляет собой значительно более сложную задачу, для решения которой полезно ввести в рассмотрение приращение среднего времени поиска, получающееся при переносе ячейки из цикла в

где число ячеек, просматриваемых в цикле

Если при даннрм то перенос ячейки в цикл приводит к уменьшению среднего времени. Исходя из какого-либо распределения ячеек по циклам и произведя все возможные переносы, не увеличивающие среднее время поиска, можно прийти к оптимальному распределению. Практическое осуществление этой процедуры связано с большими вычислительными трудностями. Поэтрму ограничимся лишь рассмотрением нескольких весьма частных случаев.

Начнем со случая конечной ширины априорного распределения, когда при Пусть все ячеек распределены между двумя циклами. Тогда равенство (3.9.11) имеет вид

из которого следует, что ко второму циклу целесообразно отнести все те ячейки, для которых

Из (3.9.12) следует, что если при всех

то, лучше (включать все ячейки уже в первый цикл. Если выполнено обратное неравенство, то (3.9.12) определяет границу первого цикла.

Аналогично, если число циклов задано и равно граница цикла определяется соотношением

Если мало, то, ограничиваясь членами первого порядка по и считая 1, можно переписать (3.9.13) в виде

Соотношения (3.9.13), (3.9.14) при определяют некоторое разбиение рассматриваемых ячеек на циклы. Это распределение, не будучи вполне оптимальным, позволяет, тем не менее, получить весьма Существенный выигрыш по сравнению со случаем, когда все ячейки просматриваются в первом же цикле.

В качестве примера рассмотрим случай экспоненциального априорного распределения, считая для простоты это распределение непрерывным. При этом Из (3.9.14) получаем

где вероятность непопадания цели в просматриваемый интервал;

ширина распределения.

Положим Принтом границы циклов определяются следующими значениями . Третий и последующие циклы включают в себя все просматриваемые ячейки. Соответствующее этому случаю среднее время поиска, вычисленное по формуле (3.9.10) при примерно на меньше, чем при неизменных циклах. Этот выигрыш во времени увеличивается по мере увеличения вероятности пропуска цели. Так, при для рассматриваемого примера выигрыш составляет

В рассмотренном примере обращает на себя внимание тот факт, что расширение циклов происходит равномерно Если предположить такую равномерность с самого начала, то для экспоненциального априорного распределения можно вычислить среднее время поиска при произвольном не ограничивая общего числа просматриваемых ячеек. Производя необходимые вычисления, из (3.9.10) получаем

На рис. 3.1 построена зависимость от для различных и при Кривые имеют минимум, сдвигающийся в сторону больших по мере уменьшения При положение и величина минимума определяются приближенными соотношениями

Следующий шаг на пути оптимизации поиска должен состоять в отказе от цикличности. Наилучшим порядком просмотра будет, очевидно, тот, при котором решение о том, какую из ячеек осматривать следующей, принимается после осмотра каждой ячейки на основании сведений, известных априори и полученных при предшествующих осмотрах. Все эти сведения содержатся в апостериорном распределении вероятности наличия цели по ячейкам. Это распределение должно

использоваться при принятии решения в качестве априорного. Если в одной из ячеек произошло превышение порога, то принимается решение о наличии цели в этой ячейке и остальные ячейки не просматриваются. При этом апостериорная вероятность равна единице в ячейке, где порог превышен, и нулю во всех остальных ячейках.

Рис. 3.1. Зависимость среднего времени поиска от распределения ячеек по циклам.

Нас будет интересовать апостериорное распределение в том случае, когда ни в одной из просмотренных ячеек цель не обнаружена. По известной формуле для условной вероятности для этого распределения получаем

где априорная вероятность наличия цели в ячейке; — число предшествующих просмотров ячейки.

Числитель (3.0.17) (представляет собой безусловную вероятность того, что цель в ячейке есть и была пропущена при всех предшествующих просмотрах, а знаменатель вероятность условия, при котором вычисляется вероятность отсутствия превышений порота при всех предшествующих просмотрах.

Представляется почти очевидным, что при одинаковых (в среднем) временах задержки в ячейках их лучше всего просматривать в порядке убывания апостериорной вероятности (3.9.17). Нетрудно показать, что при любой неубывающей функции потерь такой порядок просмотра обеспечивает минимум среднего риска. Чтобы убедиться в этом, вычислим средний риск при условии, что производимый в течение некоторото времени предшествующий просмотр не дал результатов, а последующий просмотр начинается с некоторой ячейки.

В соответствии с (3.9.2) и со сделанным допущением о равноправии ячеек

где время, затраченное на предшествующий просмотр; приращение времени поиска, получающееся при необнаружении цели в первой из просматриваемых ячеек (т. е. в ячейке); время задержки в ячейке, где цель обнаруживается.

Очевидно, что

если неубывающая функция, а следовательно, риск минимален, когда имеет наибольшее из возможных значений.

В соответствии с полученными результатами оптимальный поиск должен производиться следующим образом. Расположим ячейки в порядке убывания априорной вероятности Просмотр должен начинаться с

первой ячейки и производиться в порядке возрастания номеров до тех пор, пока выполняется неравенство

т. е., как видно из (3.9.17), пока

После того, как в (3.9.19) начинает выполняться обратное неравенство (начиная с ячейки с номерами прооматриваются поочередно с уже осмотренными, пока

после чего первые ячейки нужно начать просматривать в третий раз поочередно с ячейками, осматриваемыми в первый и во второй раз, и т. д.

Чтобы иметь возможность сравнить такой порядок просмотра с рассмотренными ранее, вычислим среднее время поиска. Для этого разобьем ось на интервалы, определяемые неравенствами

Число ячеек на каждом интервале обозначим через Каждой ячейке будем ставить в соответствие совокупность ячеек в других интервалах, для которых априорные вероятности меньше всего превышают Номера этих ячеек, отсчитываемые от йачал соответствующих интервалов, будем обозначать через Прежде чем будет просмотрена в первый раз ячейка, относящаяся к интервалу, раз будет просмотрен интервал раз-—интервал Кроме того, будут просмотрены в раз ячеек нулевого интервала, в 6-й раз ячеек первого интервала и так далее до 6-го интервала. Если цель пропускается раз, то число просмотров всех интервалов до 6-го увеличивается на кроме того, добавляются ячейки,

относящиеся к В соответствии со сказанным можно записать в виде

Два первых и последнее слагаемые полученного выражения совпадают с соответствующими слагаемыми в формуле (3.9.9) для среднего времени поиска при расширяющихся циклах. Такого совпадения можно было ожидать, так как различие между этими двумя способами поиска состоит лишь в том, что в случае расширяющихся циклов при очередном просмотре, во время которого цель обнаруживается, просматривается ячеек, а при оптимальном порядке просмотра осматриваются ячеек каждого интервала из уже просматриваемых к этому времени, т. е. с первого до

Усредняя (3.9.16) по и преобразуя последнее слагаемое, так же как и при выводе (3.8.17), получаем

В частности, для экспоненциального априорного распределения

При множитель при в (3.9.23) приближенно равен

очень близко к среднему времени поиска в случае расширяющихся циклов при оптимальном выборе приращения

Отмеченная изость средних времен поиска при расширяющихся циклах оптимальной продолжительности и при оптимальном порядке просмотра показывает, что метод расширяющихся циклов может без значительных потерь в о времени использоваться вместо оптимального метода, реализация которого связана с большими техническими трудно стями.

Этот результат может быть использован также и при выборе продолжительности расширяющихся циклов. Учитывая малость различия средних времен для двух указанных «методов, можно утверждать, что разбиение на циклы в соответствии с (3.9.20) близко к оптимальному.

Выше рассматривались различные случаи выбора порядка просмотра ячеек, обеспечивающего минимум среднего времени поиска. В некоторых практических задачах представляется более оправданным искать оптимальный способ поиска цели, исходя из требования максимума вероятности обнаружения (минимума вероятности пропуска) цели за некоторое фиксированное время. Решить эту задачу удается лишь для случая фиксированного времени задержки в ячейке. Полученные результаты могут быть с некоторой натяжкой использованы и при случайной задержке, если общее время, отводимое для обнаружения, велико по сравнению со средним временем задержки в ячейке.

Пусть время, отведенное на поиск, а х - время задержки в ячейке. Если за время некоторая ячейка просматривается раз и сигналы от цели в различных просмотрах независимы, то для вероятности обнаружения цели можно написать

Нужно выбирать так, чтобы было максимальным и выполнялось условие

Предположим что способ поиска, являющийся для рассматриваемого случая оптимальным, характеризуется числами удовлетворяющими условию (3.9.25). Заменим в на на сохраняя остальные постоянными. При такой замене условие (3.9.25) остается, очевидно, в силе, а вероятность изменяется на величину

Поскольку числа соответствуют оптимальному поиску, должно быть отрицательным при любых и если только Отсюда следует, что для всех для которых 0, произведение должно быть примерно постоянным, т. е.

Величина постоянной С определяется условием -Приближенная формула (3.9.27) выполняется тем точнее чем больше При — можно считать приближенно при При этих допущениях расчет оптимального распределения времени между ячейками не представляет большого труда. При небольших — расчет доводится до конца лишь численными методами.

В качестве примера рассмотрим нормальное априорное распределение с дисперсией равной дисперсии ошибки целеуказания, деленной на ширину элементарной ячейки.

Полагая будем заменять все суммы интегралами, а начиная с которого определять из условия При этом

и в соответствии с

Подставляя это выражение получаем

и

Используя формулу (3.9.28), нетрудно для конкретных и а найти оптимальное распределение времени между ячейками, обеспечивающее максимум вероятности обнаружения цели за а то время. В отличие от случая минимизации среднего времени поиска это оптимальное распределение не определяет порядка просмотра ячеек. Оно может быть реализовано, например, с помощью циклического поиска расширяющимися циклами. При этом пределы поиска и закон распределения янеек по циклам должны определяться формулой (3.9.28).

Рассмотренные задачи, безусловно, далеко не исчерпывают всех проблем, связанных с оптимизацией поиска и обзора. В частности, совсем не рассматривались задачи поиска при числе целей больше одной. Не затрагивалась весьма интересная задача оптимизации обзора, основанная на требовании скорейшего обнаружения случайно появляющихся целей.

В связи с развитием способов обработки радиолокационной информации, получаемой при обзоре, с помощью электронных счетных машин возникла еще одна весьма важная и интересная задача, поставленная в достаточно общем виде в [52]. Эта задача сводится к оптимизации способа заполнения конечного числа каналов памяти машины данными о траектории предполагаемых целей. Оптимальный способ должен обеспечивать скорейшее обнаружение истинной цели после ее появления. К сожалению, какие-либо результаты в этой области, насколько известно авторам, пока отсутствуют.