§ 4.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛА НА ФОНЕ ШУМА

4.4.1. Случай быстрых флюктуаций

Как уже отмечалось, общие соотношения § 4.2, с помощью которых определяется вид характеристик обнаружения, могут быть использованы и в том случае, когда способ обработки сигнала отличается от оптимального. При когерентной обработке принятого сигнала эти

отличия, в основном, сводятся к отличию опорного сигнала и частотной характеристики фильтра от оптимальных, рассмотренных в предыдущем параграфе. Здесь мы рассмотрим характеристики обнаружения при произвольных опорном сигнале и характеристике фильтра. Полученные результаты позволяют определить не только эффективность оптимальной системы, но и степень снижения эффективности за счет отступления от оптимального способа обработки.

Если обработка сигнала осуществляется по схеме: смеситель, фильтр, квадратичный детектор, накопитель, реле, то сигнал на входе реле определяется формулой

где опорный сигнал, равный при оптимальной обработке импульсная реакция фильтра.

Коэффициент добавлен для придания этому выражению сходства с результатом оптимальной обработки (4.3.7).

Для упрощения записи мы рассматриваем случай, когда фильтрация производится на низкой частоте. Обозначая низкочастотную составляющую произведения через можно переписать (4.4.1) в виде

где

При переходе от (4.4.1) к (4.4.1) мы заменили верхний предел во внутреннем интеграле в (4.4.1) на что допускается благодаря предполагаемой физической реализуемости фильтра при Последнее

приближенное равенство в (4.4.2) справедливо при условии, что , где эффективная ширина полосы пропускания фильтра.

Полученное выражение для совпадает и для нахождения характеристической функции этой величины можно воспользоваться соотношениями Для входящей в эти соотношения функции корреляции имеем

Обычно функция меняется медленно по сравнению с законами модуляции опорного и зондирующего сигналов. Поэтому в можно заменить результатом усреднения этой функции по времени на интервале, достаточном для усреднения модуляции, и вместе с тем достаточно малом, чтобы функцию а также случайные амплитуды и фазу отраженного сигнала можно было на этом интервале считать постоянными. При этом функция корреляции также усредняется по времени. Считая нормированным так же, как и имеем

где в случае одиночной посылки

а в случае сигнала неограниченной длительности

Подставляя (4.4.4) в (4.2.8) и получаем следующее уравнение для функции

Для рассматриваемого случая быстрых флюктуаций отраженного сигнала (предположив, что и используя (4.4.2), можно найти решение уравнения (4.4.6)), преобразуя обе его части по Фурье по и пренебрегая краевыми эффектами. В результате подстановки этого решения в (4.2.6) имеем

Выражение характеристической, функции для случая, когда сигнал от цели отсутствует, определяется из (4.4.7) при Эта формула может быть использована также и для определения характеристик оптимальной системы. При этом заменяется частотной характеристикой оптимального фильтра (4.3.8).

Из (4.4.7) могут быть без труда найдены семиинварианты распределения

Как известно [18], совпадает со средним значением случайной величины, с дисперсией, а отношения равны коэффициентам асимметрии и эксцесса рассматриваемого закона распределения. По мере увеличения отношения и как легко видеть, убывают, что свидетельствует о приближении рассматриваемого

закона распределения к нормальному, для которого При нормальном распределении вероятность того, что величина превышает уровень срабатывания реле с (вероятность обнаружения), определяется формулой

где через обозначен интеграл вероятности.

Полагая в формулах для можно получить аналогичное выражение для вероятности ложной тревоги, а исключая из этих выражений величину порога, можно найти уравнение характеристики обнаружения

где через обозначен семиинвариант при отсутствии сигнала от цели, а через функция, обратная

Для уточнения величин вероятностей соответствующих нормальному закону распределения можно воспользоваться рядом Эджворта [46]

где через обозначена производная интеграла вероятности.

Рассматриваемые приближения справедливы лишь при больших значениях произведений причем чем меньше вероятности ложной тревоги и пропуска цели, тем медленнее сходятся вероятности к величинам, определяемым нормальным приближением. Получить выражение для распределения, соответствующего характеристической функции не пользуясь нормальным приближением и не прибегая к конкретным аппроксимациям частотной характеристики фильтра и спектральной плотности, не удается. Если предположить,

Что можно аппроксимировать -образной кривой, имеющей ширину и что фильтр согласован со спектром флюктуаций также будет аппроксимироваться -образной кривой, имеющей ширину то (4.4.7) преобразуется к виду

При целом закон распределения, соответствующий характеристической функции (4.4.12), совпадает с хи-квадрат распределением с степенями свободы. Такое совпадение связано с тем, что в рассматриваемом случае в силу известной теоремы В. А. Котельникова [36] процесс на выходе фильтра определяется своими дискретными значениями, отстоящими друг от друга на причем при прямоугольной спектральной плотности эти значения статистически независимы. Кроме того, узкополосный случайный процесс имеет две независимые квадратурные составляющие [17], так что сигнал на интервале имеет статистически независимых координат, распределенных по нормальному закону. В результате квадратичного детектирования и интегрирования образуется сумма квадратов значений всех этих координат, которая подчиняется, как известно [46], хи-квадрат распределению. вероятностей при этом получаются следующие выражения:

где с — величина порога, а

Зависимость можно получить, пользуясь таблицами интегрального закона хи-квадрат распределения

или неполной гамм -функции [61], через которую выражается

Для облегчения расчетов по формулам (4.4.13) на рис. 4.5 и 4.6 приведены графики обратной функции для различных При этом по оси ординат для удобства откладывается величина остающаяся конечной при

На рис. 4.5 по оси абсцисс отложен — Этот график удобно использовать для определения порога, соответствующего тому гили иному значению вероятности ложной тревоги. На рис. 4.6 по оси абсцисс отложен благодаря чему растянут участок

Рис. 4.5. Зависимость от при

кривых, где Этот График удобен для определения вероятности правильного обнаружения или порогового отношения сигнал/шум, соответствующего заданной вероятности правильного обнаружения.

Рис. 4.6. Зависимость от при

Как видно изграфиков, при изменение на единицу приводит к сравнительно небольшому изменению так что при дробных значениях эту величину можно без существенных погрешностей заменять ближайшим целым числом и пользоваться хи-квадрат распределением.

Исключая из (4.4.13) величину порога с, получаем следующее уравнение для характеристик обнаружения:

откуда, в частности, можно найти величину порогового отношения сигнал/шум, требуемого для обеспечения определенных вероятностей При

и из (4.4.15) имеем

Ошибку, допускаемую при использовании нормального приближения, можно определить, сравнивая графики рис. 4.5, 4,6 при рассматриваемом значении и при Полученные соотношения вместе с результатами § 4.4.2 будут использованы ниже при анализе влияния основных факторов, определяющих пороговое значение отношения сигнал/шум.