4.11.2. Характеристики обнаружения при оптимальной междупериодной обработке

Расчет интересующих нас характеристик проводится с помощью соотношений (4.11.8) - (4.11.10), причем используемые приближения, круг рассматриваемых частных случаев и методы решения полностью аналогичны использованным при рассмотрении аналогичных задач п. 4.4.1 и 4.10.1. В связи с этим мы сократим частично пояснения, относящиеся к методам решения уравнения (4.11.9), и подробно остановимся лишь на истолковании результатов.

При медленных флюктуациях отраженного сигнала вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги связаны соотношением

где определяется формулой либо при учете формы пачки в соответствии с (4.11.30) следующим выражением

Если характер обработки отличается от оптимального, так что в (4.11.14) уже не определяется формулой (4.11.12), в (4.11.30) заменены некими частотными характеристиками формулы (4.11.13), (4.11.36) заменяются соответственно следующими:

В (4.11.37) через обозначена сумма которую можно рассматривать как частотную характеристику некоего фильтра. Эти формулы могут быть использованы для оценки качества систем обнаружения, отличающихся от оптимальных.

Если спектр узкий по сравнению со спектром помехи (длительность пачки и с частотной характеристикой фильтра, то из (4.11. 38) получаем

откуда видно, что отношение сигнал/помеха не зависит этом случае от вида частотной характеристики режекторного фильтра, подавляющего помеху. От частотной характеристики накапливающего фильтра практически достаточно требовать согласования со спектром по полосе. Если то

где эффективное число импульсов в пачке.

Приближенная формула (4.11.40) является весьма наглядной и может быть с успехом использована при практических расчетах.

Сравнительная эффективность различных способов когерентной междупериодной обработки существенным образом зависит от формы спектральной плотности помехи и от соотношения между мощностями помехи и шума на выходе системы внутрипериодной обработки. В качестве примера, иллюстрирующею это положение, рассмотрим эффективность некоторых способов обработки при экспоненциальной и гауссовой функциях корреляции сигнала, отраженного от пассивных помех.

На рис. 4.26, а приведена зависимость отношения — для трех видов обработки (оптимальной, когерентного

(кликните для просмотра скана)

суммирования и вычитания максимальной кратности от при Все три способа дают весьма близкие результаты. При когерентное суммирование дает такие же результаты, как и оптимальная обработка. Это согласуется с отмеченным выше исчезновением зависимости от наступающим Череспериодное вычитание максимальной кратности для рассматриваемой аппроксимации функции корреляции существенно отличается от оптимальной обработки и при всех дает примерный двукратный проигрыш.

На рис. приведена аналогичная зависимость для гауссовой функции корреляции, построенная для когерентного накопления и вычитания максимальной кратности (которое в этом случае близко к оптимальной обработке при отсутствии шумов) при различных значениях отношения помеха/шум При больших когерентное суммирование и в этом случае дает выигрышно сравнению с вычитанием. Однако по мере сужения спектра флюктуаций помехи при больших начинают выясняться преимущества многократного вычитания, которое при например, обеспечивает максимальный выигрыш в И дб при Затем этот выигрыш начинает убывать, и, наконец, снова преимущество оказывается на стороне когерентного суммирования. Это объясняется тем, что при сильной корреляции помехи для ее устранения может быть успешно использована почти любая операция и основную роль начинает играть подавление шумов, обеспечиваемое наилучшим образом при когерентном суммировании.

Рассмотреть подобные зависимости в общем виде, не конкретизируя спектральной плотности флюктуаций и не предполагая широкополосность помехи, не удается. В связи с этим большое значение приобретает изучение характеристик флюктуаций сигналов от разного рода пассивных помех, отыскание наиболее характерных достоверных аппроксимаций для этих характеристик и числовой расчет параметров соответствующих оптимальных систем и характеристик обнаружения.

При быстрых флюктуациях отраженного сигнала решение уравнения (4.11.9) можно получить преобразованием Фурье. В результате подстановки решения в

(4.11.8) для характеристической функции случайной величины получаем

где спектральная плотность последовательности поступающей на вход системы обнаружения.

При наличии цели отсутствии цели По своему виду формула (4.11.41) совпадает с формулой (4.4.7), и для характеристик обнаружения, соответствующих найденной характеристической функции, могут быть использованы вполне аналогичные приближения. Семиинварианты закона распределения, соответствующего этой характеристической функции, определяются формулой

Находя с помощью (4.11.42) коэффициенты асимметрии и эксцесса рассматриваемого закона, нетрудно убедиться, что с ростом эти коэффициенты стремятся к нулю и, следовательно, закон распределения сходится к нормальному. При этом для расчета характеристик обнаружения может быть использовано нормальное приближение (4.4.110) либо для более точных расчетов ряд Эджворта (4.4.11). Следует отметить, что при выводе формулы (4.11. 41) не делалось никаких предположений относительно вида частотной характеристики в связи с чем эта формула а также все из нее вытекающие могут быть использованы для расчета характеристик неоптимальных систем обнаружения и, в частности, систем череспериодной компенсации, рассматриваемых ниже.

Рассмотрим некоторые сравнительно простые приближения для характеристик оптимальной системы обнаружения, вытекающих из (4.11.41). Если велико по сравнению с временем корреляции сигнала и помехи, то, используя (4.4.10), можно получить весьма простое

выражение для порогового отношения сигнал/помеха за один период При этом если предположить дополнительно, что для используется приближение (4.11.33), из (4.4.10) получаем

В случае помехи, широкополосной по сравнению с флюктуациями сигнала,

где время наблюдения, а полоса определяется равенством

При малой эффективной ширине спектра флюктуаций полоса совпадает с точностью до посто-. янного множителя, определяемого формой спектра флюктуаций с (например, для прямоугольного спектра для экспоненциальной функции корреляции флюктуаций При больших ролоса Интересно отметить, что в формулу (4.11.43), как и в (4.11.40), вошло отношение спектральной плотности помехи в точке к числу совместно обрабатываемых периодов сигнала.

Обычно отношение сигнал/помеха за период оказывается очень малым, так как отражающая поверхность пассивных помех, попадающих в интервал разрешения по дальности, на практике может во много раз превышать отражающую поверхность цели. Поэтому наибольший интерес представляет случай, когда пороговое достаточно мало. При в (4.4.10) можно пренебречь различием дисперсий и получить для

приближенную формулу, аналогичную (4.11.43), но справедливую при произвольном

Последнее равенство в этой формуле справедливо при широкополосной помехе.

Для случая широкополосной помехи приближение, справедливое и при сравнительно малых можно получить, аппроксимируя спектральную плотность флюктуаций полезного сигнала -образной кривой, имеющей ширину При этом, производя те же преобразования, что и при выводе (4.4.13), получаем

Полученные формулы позволяют проследить зависимость порогового отношения сигнал/помеха от соотношения между временем наблюдения и ширинами спектров флюктуаций помехи и сигнала. Мы рассмотрим такую зависимость для частного случая экспоненциальных функций корреляции этих флюктуаций, используя при нормальное приближение и производя интерполяцию в промежутке между где формулы, полученные для крайних случаев быстрых и медленных флюктуаций, не справедливы. Даже при использовании таких приближений достаточно точный расчет этой зависимости для оптимальной обработки связан с большими вычислительными трудностями и требует, в частности, численного решения уравнений высокого порядка относительно В связи с этим мы опустим здесь все промежуточные выкладки и обратимся непосредственно к обсуждению результатов расчета, представленных графически на рис. 4.27. при

(кликните для просмотра скана)

Зависимость при во многом аналогична зависимости рис. 4.7 и, в частности, также имеет минимум при некотором значении уменьшающемся по мере уменьшения (усиления корреляции помехи). При этом пороговое убывает.

Зависимость от при носит иной характер. При величина убывает с уменьшением , как и в случае оптимальной скорости; однако при уменьшении когда сигнал становится коррелированным сильнее, чем помеха q растет при уменьшении Это легко объяснить физически. При больших сигнал имеет более широкий спектр, чем помеха, и, несмотря на сильное перекрывание этих спектров при после подавления помехи остается неподавленной значительная часть энергии сигнала, тем большая, чем уже спектр помехи. При спектре сигнала более узком, чем спектр помехи, ее подавление приводит к столь же или даже более сильному подавлению сигнала.

Интересно отметить, что наилучшие результаты при слепой скорости получаются при полном отсутствии корреляции соседних периодов, помехи и полезного сигнала (мы не говорим о случае коррелированной помехи и не коррелированного сигнала, который, по-видимому, нереален). Это обстоятельство может быть использовано в тех случаях, когда скорость цели относительно пассивных помех настолько мала, что допплеровская частота оказывается меньше ширины спектра флюктуаций помехи и селекция цели по скорости невозможна. Такие случаи могут иметь место при обнаружении медленно движущихся целей на фоне земной поверхности или искусственных помех, когда спектр помехи очень широк из-за быстрого движения радиолокатора (например, установленного на самолете).

Для устранения корреляции периодов помехи может быть использована перестройка частоты от импульса к импульсу на величину, несколько большую ширины спектра модуляции. Если при этом корреляция полезного сигнала частично сохранится, то, как видно из рисунка, потери в величине порогового составят примерно 3 дб. Как следует из результатов § 1.3, при разрешающей способности, сравнимой с размерами цели/ослабление корреляции полезного сигнала и помехи будет

происходить с увеличением разности используемых частот одновременно.

Оценим возможности такого способа повышения помехоустойчивости. При независимых периодах оптимальная междупериодная обработка состоит в суммировании квадратов их огибающих. Уравнение характеристики обнаружения в этом случае определяется формулой (4.6.3), которая при малых может быть записана в виде

где число периодов.

Если то для надежной работы при превышении помехи над сигналом в 10 раз потребуется периодов. Чтобы обеспечить независимость всех этих периодов за счет перестройки частоты, нужно при ширине спектра модуляции иметь диапазон перестройки что явно нереально. Фактически достаточно использовать периодическую перестройку с периодом, равным по порядку величины времени корреляции отраженного сигнала. Если даже считать диапазон перестройки равным то время обнаружения все равно составит 25 времен корреляции, т. е. порядка 3 сек для цели с шириной спектра флюктуации 10 гц. Рассмотренный пример показывает, что возможности повышения помехоустойчивости по отношению к пассивным помехам посредством декорреляции периодов весьма ограниченны.

В заключение данного раздела коснемся вопроса о сравнении оптимальной раздельной обработки периодов с полностью оптимальной обработкой, рассмотренной в § 4.9 и 4.10. К сожалению, исчерпывающих результатов по этому вопросу в настоящее время не имеется. Единственным случаем, который удается рассмотреть, является случай широкополосной (по сравнению с полезным сигналом) помехи, когда помеха может быть, в сущности, заменена эквивалентным белым шумом. При этом, согласно (4.11.39) вид характеристики фильтра, подавляющего помеху, становится несущественным и оптимальная междупериодная обработка может быть заменена когерентным накоплением. Также и полностью оптимальная обработка в этом случае

сводится к умножению на периодический опорный сигнал и последующему накоплению (см. п. 4. 9. 3). Вся разница заключается в форме опорного сигнала: в случае полностью оптимальной обработки вид сигнала учитывает возможности частотной селекции и зависит в соответствии с от

а в случае раздельной обработки вид опорного сигнала, рассчитанного лишь на один период модуляции, зависит только от (При выводе (4.11.46) использовалась связь между спектральными плотностями стационарного случайного процесса и последовательностью значений этого процесса в равноотстоящие моменты времени [67]).

Как и следовало ожидать, в этом случае результаты сравнения зависят от вида функции Для сигнала с прямоугольной спектральной плотностью модуляции оба вида обработки полностью эквивалентны. Для сигнала с медленно спадающей спектральной плотностью

используя (4.11.40), (4.10.29), (4.11.46), (4.10.22) и (4.9.27), получаем выражение для относительного увеличения отношения сигнал/помеха за счет оптимальной обработки в виде

где

Зависимость при различных значениях спектральной плотности флюктуаций мешающих отражений показана на рис. 4.28. При

Для рассматриваемого вида функции оптимальная обработка дает существенный выигрыш при По мере увеличения крутизны спадания спектра величина выигрыша уменьшается.

Рис. 4.28. Проигрыш за счет раздельной обработки периодов.

Рассмотрение аналогичной зависимости в важном для целого ряда приложений случае узкополосной помехи провести пока не удалось.