2.4.3. Воздействие шума совместно с сигналом на квадратичный детектор

Рассмотрим теперь детектирование шума в присутствии сигнала. Пусть на вход детектора воздействует сумма сигнала и шума

Сигнал пока конкретизировать не будем, а шум по-прежнему считаем узкополосным, нормальным случайным процессом с нулевым средним значением и дисперсией Естественно, что сигнал и шум независимы. Напряжение на выходе детектора запишется в виде

Математическое ожидание этого напряжения равно

Используя (2.4.33) и (2.4.34), нетрудно найти функцию корреляции случайного процесса на выходе квадратичного детектора

где слагаемое

обусловлено наличием сигнала; второе слагаемое

обусловлено наличием шума, и третье слагаемое возникло за счет взаимодействия сигнала с шумом. При выводе

этого выражения было учтено, что как центральные моменты нечетного порядка нормально распределенных случайных величин.

Рассмотрим теперь конкретные виды полезного сигнала. В гл. 1 было показано, что сигнал, отраженный от цели, в большинстве случаев можно представить в виде узкополосного нормального случайного процесса. Если функция корреляции сигнала на выходе УПЧ равна то из формулы (2.4.34) следует, что математическое ожидание случайного процесса на выходе детектора будет равно

Таким образом, приращение постоянной составляющей напряжения на выходе детектора пропорционально дисперсии полезного сигнала на входе.

Перейдем к определению функции корреляции напряжения на выходе детектора.

Так как сумма сигнала и шума в данном случае представляет собой нормальный случайный процесс, то для функции корреляции справедлива формула (2.4.25), в которой надо заменить на в результате

Следовательно, функция корреляции напряжения на выходе квадратичного детектора пропорциональна квадрату суммы огибающих функций корреляций полезного сигнала и шума на его

Дисперсия процесса на выходе детектора

(Сопоставляя формулы нетрудно заметить, что дисперсия случайного процесса на выходе квадратичного детектора в рассматриваемом случае равна квадрату его математического ожидания.

В случае, когда полезный сигнал представляет собой синусоидальное колебание

математическое ожидание можно найти, воспользовавшись снова общей формулой (2.4.34),

Так как высокочастотные составляющие будут отфильтрованы, окончательное выражение для математического ожидания напряжения на выходе детектора будет иметь вид

где введенное выше отношение мощностей сигнала и шума на входе детектора.

Функция корреляции процесса на выходе детектора находится по формуле (2.4.35). Очевидно, что при

Остальные составляющие формулы (2.4.35) мы уже вычисляли. Тогда

Так как фильтр, стоящий в нагрузке детектора, усредняет случайный процесс по времени, то нас будет интересовать усредненная по времени функция корреляции

Учитывая, что среднее по времени

получаем

Подставляя в выражение для функции корреляции шума (2.3.4) и интересуясь лишь низкочастотными составляющими напряжения на выходе, находим окончательное выражение для функции корреляции напряжения на выходе квадратичного детектора

Дисперсия низкочастотных составляющих напряжения на выходе детектора

Полезно отметить, что интенсивность низкочастотных составляющих на выходе квадратичного детектора состоит из двух частей. Первая часть не зависит от полезного сигнала и обусловливается только шумами. Вторая часть обусловлена взаимодействием между шумом и полезным сигналом при детектировании.

Найдем законы распределения напряжения на выходе детектора. Применяя метод огибающей, нетрудно показать, что низкочастотная часть напряжения на выходе квадратичного детектора пропорциональна квадрату огибающей случайного процесса на входе. Плотности вероятности огибающей для интересующих нас случаев будут выражаться формулами (2.4.6), (2.4.7), (2.4.8). Следовательно, нужно найти законы распределения случайного процесса который связан с соотношением

если известны законы распределения процесса

Применяя правила теории вероятности, получаем выражение для двумерной плотности вероятности квадрата огибающей случайного процесса, состоящего из аддитивной смеси синусоидального сигнала и шума [17]:

при (2.4.43)

где остальные обозначения те же, что и в формуле (2.4.8).

В случае, когда полезный сигнал отсутствует, двумерный закон распределения случайного процесса на выходе квадратичного детектора определится из (2.4.43), где нужно положить

при

Одномерную плотность вероятности квадрата огибающей суммы синусоидального сигнала и шума можно получить из (2.4.43). Она имеет вид

Для случая, когда полезный сигнал отсутствует, из формулы (2.4.45) <при получим одномерную плотность вероятности квадрата огибающей шума.

Заметим, что законы распределения вероятностей квадрата огибающей суммы полезного сигнала в виде нормального случайного процесса и шума будут также описываться формулами (2.4.44) и (2.4.45), где параметры и относятся к сумме сигнала и шума.

Итак, мы рассмотрели основные статистические характеристики случайных процессов на выходе детектора. Эти характеристики потребуются в последующих главах.