§ 5.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ С СУММИРОВАНИЕМ КВАДРАТОВ ОГИБАЮЩИХ

Рассчитаем характеристики обнаружения для системы, на выходе которой образуется и сравнивается с порогом величина

Легко видеть, что выражение (5.3.1) является частным случаем формулы (4.11.7), когда Учитывая это обстоятельство и используя (4.11.8) — (4.11.10), для характеристической функции величины получаем

где функция междупериодной корреляции принятого сигнала определяется уравнением

Если на вход системы обнаружения воздействуют только шумы, то определитель в знаменателе (5.3.2) становится диагональным и легко вычисляется

Этой характеристической функции соответствует хи-квадрат распределение с степенями свободы. В соответствии с этим для вероятности ложной тревоги имеет место формула (4.11.82).

При наличии полезного сигнала

где отношение сигнал/шум на выходе системы внутрипериодной обработки.

При оптимальной внутрипериодной обработке равно отношению средней энергии сигнала за период к спектральной плотности шума. Зависимость от различных отступлений от оптимальной обработки рассматривалась весьма подробно в гл. 4.

Расчет вероятности превышения порога для этого случая в общем виде провести не удается. Поэтому мы, как и ранее, будем различать случаи быстрых и медленных флюктуаций. При медленных флюктуациях определитель в (5.3.2) также может быть вычислен непосредственно. В результате для характеристической функции получается выражение, вполне аналогичное (4.4.20),

откуда для уравнения характеристик обнаружения аналогично (4.4.21) имеем при

Из (5.3.5) для порогового отношения сигнал/шум соответствующего вероятностям получаем

Сравнение (5.3.6) и (4.4.28) показывает, что зависимость пороговой энергии сигнала от числа некогерентно накапливаемых импульсов носит такой же характер, как и зависимость от произведения полосы пропускания фильтра на время наблюдения при обнаружении когерентного сигнала. Соответственно и проигрыш, обусловленный использованием некогерентного накопления вместо когерентного, совпадает с проигрышем, обусловленным расширением полосы фильтра по сравнению с согласованной да в число раз, равное числу накапливаемых импульсов Если велико, то пороговое за счет некогерентного накопления увеличивается примерно в

При быстрых флюктуациях решение уравнения (5.3.3) может быть получено преобразованием Фурье. Подставляя это решение в (5.3.2), получаем

где спектральная плотность, соответствующая функции корреляции

Используя (5.3.7), нетрудно найти семиинварианты искомого распределения

Для расчета характеристик обнаружения при больших может быть попользовано нормальное

приближение либо ряд Эджворта (4.4.11). В предельном случае быстрых флюктуаций, когда и соседние импульсы флюктуируют независимо, можно получить явное выражение для зависимости которое совпадает, очевидно, с (4.6.3) (при замене на так как в этом случае мы также имеем дело с некогерентным накоплением некоторого числа независимых компонент сигнала.

Ряд Эджворта может быть использован для расчета характеристик обнаружения и при произвольных значениях . В связи с этим полезно привести здесь выражения для семиинвариантов, не использующие решения уравнения (5.3.3) методом Фурье, полученного для случая

Будем искать решения (5.3.3) в виде ряда

подставляя который в (5.3.3) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства, нетрудно убедиться, что

т. е. что матрица получается возведением матрицы степень. Подставляя (5.3.9) в (5.3.2), получаем

откуда следует, что искомые семиинварианты, являющиеся, как известно, коэффициентами при в разложении в ряд по степеням определяются формулой

где через обозначен след степени матрицы

Из теории матриц известно, что

где характеристические числа матрицы определяемые уравнением

Легко видеть, что характеристические числа матрицы связаны с характеристическими числами матрицы соотношением

так что

Задача вычисления семиинвариантов, входящих в ряд Эджворта, свелась, таким образом, к определению характеристических чисел матриц т. е. к решению уравнения (5.3.12) для этой матрицы. В большинстве практических случаев Грешить это уравнение удается лишь с использованием вычислительной техники.

На рис. 5.1 представлены графически результаты расчета характеристик обнаружения, проведенного И. Н. Амиантовым и Сосулиным для сигнала с экспоненциальной функцией корреляции.

Из рисунка видно, что зависимость при постоянных имеет минимум, т. е. существует оптимальное число импульсов, на которые целесообразно разбивать энергию излучаемого сигнала, чтобы обеспечить максимальную дальность действия. Существование оптимума связано с эффектом уменыления относительной величины флюктуаций при использовании нескольких не полностью коррелированных случайных составляющих сигнала.

При оптимум, естественно, отсутствует и пороговое отношение сигнал/шум монотонно растет с увеличением числа импульсов, между которыми распределяется излучаемая энергия.

Это возрастание связано с уменьшением энергии сигнала, обрабатываемого когерентно (энергии отдельных импульсов).

Рис. 5.1. (см. скан)Зависимость для некогерентного сигнала:

Следует отметить, что при при достаточно больших также имеет место возрастание с увеличением причем, как видно из рисунка, растет с той же примерно скоростью, как и при медленных флюктуациях, т. е. примерно пропорционально

Коэффициент пропорциональности, зависящий от вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги и от соотношения между временем наблюдения и шириной спектра флюктуаций для случая быстрых флюктуаций, можно найти, считая закон распределения накопленного сигнала гауссовым. Соответствующее уравнение характеристик обнаружения имеет вид

При соседние импульсы флюктуируют независимо и При этом

Если , вторым слагаемым в знаменателе можно пренебречь и оказывается пропорциональным При очень больших когда оказывается сравнимым с соседние импульсы становятся коррелированными. При этом

где а — коэффициент, зависящий от формы спектра флюктуаций. Для случая экспоненциальной функции корреляции

Подставляя (5.3.17) в (5.3.15) и пренебрегая слагаемыми под корнем (это можно сделать, если получаем

Используя рис. 5.1, легко убедиться, что расчет по приближенным формулам (5.3.16) и (5.3.18) дает вполне удовлетворительные по точности результаты в области больших

Из кривых рис. 5.1 видно, что зависимость При постоянном существенно отличается от аналогичной зависимости при когерентном сигнале.

При некогерентном сигнале монотонно убывает с ростом в то время как три когерентном сигнале эта зависимость имела весьма ярко выраженный минимум. Это различие связано с тем, что в рассматриваемом случае увеличение не приводит к снижению эффективности когерентной обработки, осуществляемой лишь в пределах каждого импульса, поскольку флюктуационные изменения сигнала за длительность импульса предполагаются малыми. Благодаря этому допущению мы все время остаемся в той области где полезное влияние расширения спектра флюктуаций (увеличение числа независимых компонент сигнала) действует в полной мере, а вредное (ухудшение когерентности) полностью отсутствует, т. е. все время остаемся слева от минимума.