§ 4.10. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБНАРУЖЕНИЯ ЦЕЛИ НА ФОНЕ ПАССИВНЫХ ПОМЕХ

4.10.1. Уравнение характеристики обнаружения

Как и в случае обнаружения на фоне шума, при исследовании характеристик обнаружения цели на фоне пассивных помех мы рассмотрим наряду с оптимальными системами некоторые квазиоптимальные отличающиеся от оптимальных сравнительной технической простотой. Расчет интересующих нас характеристик, как и в случае шума, будет проведен на основе общих результатов § 4.2. При этом нам придется рассмотреть отдельно случай одиночной посылки сигнала, относительно закона модуляции которой не делается никаких предположений, и случай периодического зондирующего сигнала с произвольной внутрипериодной модуляцией.

При рассмотрении первого случая будем предполагать, что флюктуации сигнала медленные, а полоса фильтра, обеспечивающего когерентное накопление сигнала, согласована с длительностью посылки. Опорный сигнал, используемый в приемнике, будем считать произвольным и обозначать через При этом напряжение на входе реле представляется в виде

и, поскольку является нормальным случайным процессом, подчиняется экспоненциальному закону распределения. Соответствующее этому распределению уравнение характеристик обнаружения имеет вид

где представляет собой отношение мощности сигнала к суммарной мощности шума и помехи на выходе системы, осуществляющей умножение на опорный сигнал и интегрирование. Используя (4.9.1) и выражая через нетрудно показать, что

где

считается для простоты нормированным так же, как

Нетрудно убедиться, что если система обнаружения оптимальна и определяемому формулой (4.9.3), то (4.10.1) совпадает с (4.9.4).

В случае периодических законов модуляции зондирующего и опорного сигналов, как и для обнаружения на фоне шумов, удается рассмотреть зависимость характеристик обнаружения от полосы пропускания фильтра и от ширины спектра флюктуаций отраженного сигнала. При некоторых дополнительных условиях эти зависимости, как мы сейчас убедимся, носят такой же характер, как и в случае обнаружения на фоне шумов.

При произвольных опорном сигнале и характеристике фильтра выходное напряжение системы обнаружения можно, как было показано «в § 4.4, представить в виде (4.4.1), Характеристики обнаружения определяются при этом соотношениями (4.2.6) — (4.2.8), причем входящая в эти соотношения функция, корреляции в рассматриваемом случае равна

где через обозначен коэффициент при в (4.9.1), а через закон модуляции опорного сигнала, который мы будем считать периодическим и нормированным, так же, как и

Пользуясь предполагаемой медленностью флюктуаций помехи и узкополосностью фильтра, усредним по на интервале, достаточном для усреднения модуляции опорного и зондирующего сигналов. В результате, ишользуя (4.9.1), получаем

где

Полагая разобьем интегралы по и на интегралы по периодам и пренебрежем краевыми эффектами. В результате несложных преобразований имеем

где и — целые части отношений и соответственно. Функция имеет равные единице максимумы при целое число, ширина

которых по предположению значительно больше ширины спектра но значительно меньше частоты повторения. Учитывая, что не изменяется при добавлении к целого числа частот повторения, можно заменить интеграл по в (4.10.3) на

В силу медленности флюктуации помехи в этой сумме существенную роль играют лишь два члена со значениями ближайшими к величине отношения . Учитывая медленность изменения как функции можно заменить в аргументе этой функции на

В результате окончательное выражение для записывается в виде

Процесс, которому соответствует функция корреляции является, как и следовало ожидать, стационарным и (может быть охарактеризован спектральной плотностью. При этом удобно ввести в рассмотрение эквивалентную спектральную плотность помехи

Величина эквивалентной спектральной плотности помехи на входе фильтра существенно зависит от допплеровского сдвига (помехи относительно полезного сигнала и от степени коррелированности ее закона модуляции с опорным сигналом.

Следующим этапом отыскания характеристик обнаружения является решение уравнения (4.2.7) с ядром

где определяется формулой (4.4.2).

При быстрых флюктуациях сигнала от цели и помехи решение этого уравнения можно получить преобразованием Фурье. В результате для характеристической функции напряжения на входе реле имеем

Эта формула вполне аналогична формуле (4.4.7). Семиинварианты, соответствующие полученной характеристической функции, определяются выражением

При достаточно больших распределение можно считать нормальным [см. (4.4.9) и (4.4.10)] либо при более точных расчетах использовать ряд Эджворта (4.4.11).

Если ширина спектра флюктуаций помехи велика по сравнению с шириной полосы пропускания фильтра спектральную плотность тшмехи полосе фильтра можно считать постоянной и равной Это соответствует замене помехи эквивалентным белым шумом. Условие довольно часто выполняется для радиолокаторов, установленных на быстрадвижущихся объектах, когда за счет движения происходит сильное расширение спектра флюктуаций. Произведя в (4.10.7) замену переменных не отражающуюся на виде характеристик обнаружения, получаем

где

Эта формула по виду полностью совпадает с (4.4.7) и из нее вытекает, что зависимость порогового отношения сигнала/помеха от полосы пропускания фильтра, ширины спектра флюктуаций и времени наблюдения при наличии пассивных помех и при носит при быстрых флюктуациях полезного сигнала такой же характер, как (и при наличии одного шума (ем. § 4.4).

К этому же выводу приводит рассмотрение случая медленных флюктуаций отраженного от цели сигнала при Для характеристической функции в атом юлучае имеем

Считая распределение при отсутствии полезного сигнала нормальным, при и получаем аналогично (4.4.19)

где определяется по формуле (4.10.8) при

Если то, заменяя помеху эквивалентным белым шумом, можно получить для этого случая все результаты, полученные для медленных флюктуации в п. 4.4.2 и 4.4.4. При этом отношение сигнал/шум заменяется в окончательных формулах отношением сигнал/помеха

Из полученных соотношений видно, что при наличии пассивных помех, широкополосных по сравнению с частотной характеристикой фильтра, осуществляющего когерентное накопление в системе обнаружения, зависимости пороговой мощности сигнала от полосы фильтра и соотношения между временем наблюдения и шириной спектра флюктуаций полезного сигнала имеют такой же вид, как и в задаче обнаружения на фоне шума.

Зависимость пороговой мощности полезного сигнала от законов модуляции зондирующего и опорного сигналов определяется формулами (4.10.10) и (4.10.13). Эти законы должны выбираться таким образом, чтобы отношение сишал/помеха (или пропорциональное отношение сигнал/помеха было возможно большим.

В тех случаях, когда сравнимо с шириной полосы фильтра, результаты, полученные при могут быть использованы в качестве приближенных либо уточнены с помощью формул (4.10.9) и (4.10.12), если условие выполнено. Проанализировать случай пока не удается из-за существенных вычислительных трудностей, преодолеть которые можно, по-видимому, лишь с использованием электронной вычислительной техники. Если же помеха флюктуирует медленно

, то решение может быть получено при условии малосли шума по сравнению с помехой, что обычно выполняется. При этом

где в случае периодического зондирующего сигнала

а в случае одиночной посылки с произвольной модуляцией

Здесь мы опять приходим к некоторому отношению сигнал/помеха, которое необходимо увеличивать посредством рационального выбора модуляции опорного и зондирующего сигналов. Зависимость отношения сигнал/помеха от этих законов модуляции будет рассмотрена ниже.