4.3.2. Случай быстрых флюктуаций

При пренебрегая краевыми эффектами, можно считать пределы интегрирования в (4.3.5) бесконечными и решить это уравнение, преобразованием Фурье. В результате получаем

где эффективная ширина спектра флюктуаций сигнала; спектральная плотность флюктуаций, нормированная так, что ее максимум равен единице.

Подставляя (4.3.4), (4.3.6) в (4.2.5) и используя теорему Парсеваля, имеем

где спектр произведения наблюдаемой реализации на результат пропускания этого произведения через фильтр, квадрат модуля частотной характеристики которого равен

Рис. 4.2. Функциональная схема оптимальной системы обнаружения для случая быстрых флюктуаций с умножением на опорный сигнал и фильтрацией на низкой частоте: 1 — фазовращатель на 90°; 2 - узкополосный фильтр; 3 — квадратор интегратор за время Т; 3 - реле.

Оптимальная обработка принятого сигнала, определяемая формулами (4.3.7), (4.3.8), заключается в умножении принятого сигнала на ожидаемый сигнал пропускании через фильтр с частотной характеристикой образовании квадрата модуля выходного напряжения фильтра и интегрировании за время

Блок-схема, осуществляющая эти операции, приведена на рис. 4.2. Гетеродинирование и пропускание через фильтр осуществляются в этой схеме в двух квадратурных каналах. Выходные напряжения фильтров возводятся в квадрат и складываются, полученная сумма интегрируется по интервалу времени и сравнивается затем

с порогом реле, выбираемым в соответствии с заданной вероятностью ложной тревоги.

В большинстве случаев технически удобнее осуществлять фильтрацию на промежуточной частоте и использовать для получения квадрата модуля комплексного колебания (квадрата огибающей) квадратичный детектор. В связи с этим желательно придать оптимальным операциям такой вид, который допускал бы их реализацию (в подобной схеме. Сместим опорный сигнал по частоте на величину некоторой промежуточной частоты на которую и настроим фильтр.

Импульсная реакция такого фильтра запишется в виде

где - импульсная реакция фильтра

Квадрат огибающей напряжения на выходе фильтра записывается при этом в виде

Заменяя произведения косинусов и синусов через косинусы суммы и разности, нетрудно убедиться, что это выражение совпадает с если сигнал на входе омесителя не содержит частот, близких к оси т. е. если входные цепи приемника обеспечивают достаточное подавление зеркальной частоты. Это условие обычно выполняется, так что оба рассматриваемых варианта оптимальной схемы можно считать вполне эквивалентными. Блок-схема с фильтрацией по промежуточной частоте показана на рис. 4.3.

Остановимся кратко на физическом смысле оптимальных операций. Умножение принимаемого сигнала на ожидаемый закон модуляции сигнала от цели обеспечивает подавление шумовых составляющих, не совпав

дающих по форме с ожидаемым законом модуляции (в той или иной степени ортогональных этому закону).

Рис. 4.3. Функциональная схема оптимальной системы обнаружения для случая быстрых флюктуаций с фильтрацией на промежуточной частоте, : 1 - фильтр; 2 — детектор; 3 — интегратор за время -реле.

Последующая фильтрация обеспечивает подавление шумовых составляющих, не совпадающих с ожидаемым сигналом по частоте. Эту фильтрацию можно трактовать также как когерентное накопление сигнала за время, сравнимое по порядку величины с (временем корреляции флюктуаций, т. е. за время, в течение которого когерентность сохраняется. Некогерентное последетекторное накопление осуществляется на большом временном интервале на котором когерентное накопление невозможно из-за флюктуаций.

Форма частотной характеристики и полоса пропускания фильтра зависят от формы спектра флюктуаций отраженного сигнала и от отношения мощности сигнала к мощности шума в полосе При малых функция совладает по форме со спектральной плотностью флюктуаций, а полоса фильтра — с шириной спектра флюктуаций. Если спектр флюктуаций можно с достаточной точностью аппроксимировать прямоугольником, то такое совпадение имеет место при всех При других полоса фильтра расширяется с увеличением причем тем быстрее, чем медленнее спадает с увеличением Так, при

эффективная полоса пропускания фильтра

при

эффективная полоса пропускания

Для гауссова спектра с той же эффективной полосой полоса пропускания по уровню половинной мощности (эффективную полосу выразить через в явном виде не удается) равна

Следует заметить, что расширение полосы фильтра с ростом отношения сигнал/шум оправдывается не только чисто энергетическими соображениями, которые сводятся к стремлению пропустить весь участок спектра, где спектральная плотность флкжтуаций сигнала больше спектральной плотности шума. При расширении полосы фильтра наряду с увеличением пропускаемой мощности происходит увеличение числа независимых значений шума, суммируемых при последующем некогерентном накоплении. Это способствует уменьшению относительной величины флкжтуаций выходного напряжения. Уменьшение времени когерентного накопления сигнала и отношения сигнал/шум на выходе фильтра ставят предел расширению полосы и обеспечивают существование оптимума.

Как видно из полученных результатов, оптимальная обработка при быстрых флюктуациях зависит от отношения сигнал/шум. Это создает определенные трудности, так как обычно неизвестно. Наиболее целесообразно для преодоления этих трудностей использовать минимаксный подход, полагая в (4.3.8) равным наименьшему значению, при котором еще возможно обнаружение цели с заданной вероятностью.