4.4.4. Зависимость порогового отношения сигнал/шум от ширины полосы пропускания фильтра

Как уже отмечалось, обычно полосу пропускания фильтра, осуществляющего когерентное накопление принятого сигнала, не удается сделать достаточно узкой для согласования со временем наблюдения или (в случае быстрых флюктуаций отраженного сигнала) с шириной спектра флюктуаций. В связи с этим существенный интерес представляет вопрос о том, как сказывается на величине порогового отношения сигнал/шум расширение полосы фильтра и отклонение формы его частотной характеристики от оптимальной. Рассмотреть этот вопрос также можно с помощью результатов п. 4.4.1 и 4.4.2.

Начнем со случая медленных флюктуаций отраженного сигнала. При прямоугольной частотной характеристике фильтра пороговое отношение сигнал/шум определяется из (4.4.21)

Для интересующих практику значений отношение обычно велико по сравнению с единицей, которой в связи с этим можно пренебречь. При этом для отношения пороговых значений в случае фильтра с расширенной полосой и фильтра с получаем

Зависимость от при различных показана на рис. 4.8. Как видно из рисунка, увеличивается с ростом тем медленнее, чем меньше При можно использовать приближенную формулу для

причем эта формула может быть получена без всяких предположений относительно формы частотной характеристики.

Рис. 4.8. Зависимость отношения от ширины полосы пропускания фильтра для случая медленных флюктуаций.

Из приведенных соотношений видно, что пороговое значение увеличивается при расширении по лосы фильтра медленно, так что выбор этого параметра приемного устройства мало критичен.

К аналогичным выводам приводит рассмотрение зависимости при быстрых флкжтуациях, когда

распределение напряжения реле можно считать нормальным. Полагая из (4.4.8) получаем

где а — коэффициент пропорциональности, зависящий от формы частотной характеристики. Для прямоугольной характеристики фильтра для LRC-фильтра для гауссовой характеристики фильтра

Подставляя (4.4.30) в (4.4.10) и полагая получаем

откуда видно, что при быстрых флюктуациях также растет примерно пропорционально Можно показать посредством совершенно аналогичных расчетов, что при отношение изменяется как При промежуточных значениях зависимость получается более сложной.

В качестве примера рассмотрим случай экспоненциальной функции корреляции этом

где

На рис. 4.9 показана зависимость рассчитанная по формуле (4.4.10) с использованием найденных выражений для при На том же рисунке для сравнения пунктиром показана та же зависимость, рассчитанная по приближенной формуле (4.4.31).

Из сравнений кривых видно, что закон

где — величина порогового отношения сигнал/шум при согласованном фильтре, соблюдается достаточно хорошо.

Из полученных соотношений видно, что выбор полосы фильтра сравнительно мало сказывается на качестве обнаружения.

Рис. 4.9. Зависимость порогового отношения сигнал/шум от ширины полосы пропускания фильтра для случая быстрых флюктуаций.

Отсюда следует, что зависимости полосы пропускания оптимального фильтра от отношения сигнал/шум можно не придавать большого значения, заменяя его минимальным значением. Точно так же мало существенна форма частотной характеристики фильтра. Эти факты показывают, что надежность обнаружения, близкая к потенциально возможной, может быть обеспечена довольно простыми техническими средствами.